Задание 1 (30 баллов). Периметр треугольника KLM равен 126. Биссектрисы МА, КВ и LC этого треугольника пересекаются в точке О. Найдите длину стороны KL, если МО: OA = 11: 3.

Ответ: 66

Пусть MO = 11x, тогда OA = 3x.

По свойству биссектрис треугольника, биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Значит, \(\frac{KL}{KM} = \frac{OL}{OM}\) и \(\frac{KL}{LM} = \frac{AK}{KA}\).

Тогда, если KL = a, KM = b, LM = c, то \(\frac{a}{b} = \frac{OL}{11x}\) и \(\frac{a}{c} = \frac{3x}{KA}\).

Следовательно, \(\frac{OL}{11x} = \frac{3x}{KA}\), откуда \(OL \cdot KA = 33x^2\).

Периметр треугольника KLM равен 126, то есть a + b + c = 126.

Используем теорему о пересечении биссектрис в треугольнике: \(\frac{AO}{OL} = \frac{b + c}{a}\).

Тогда \(\frac{3x}{OL} = \frac{b + c}{a}\), откуда \(OL = \frac{3ax}{b + c}\).

Подставляем в равенство \(OL \cdot KA = 33x^2\): \(\frac{3ax}{b + c} \cdot KA = 33x^2\).

Сокращаем на 3x: \(\frac{a}{b + c} \cdot KA = 11x\).

Тогда KA = \(\frac{11x(b + c)}{a}\).

Так как a + b + c = 126, то b + c = 126 - a.

Подставляем: KA = \(\frac{11x(126 - a)}{a}\).

Теперь рассмотрим треугольники MOA и KOL. Угол O у них общий, значит, они подобны по двум углам. Следовательно, \(\frac{KL}{OA} = \frac{OL}{OM}\).

Тогда \(\frac{a}{3x} = \frac{OL}{11x}\), откуда OL = \(\frac{11a}{3}\).

Подставляем в равенство \(OL \cdot KA = 33x^2\): \(\frac{11a}{3} \cdot \frac{11x(126 - a)}{a} = 33x^2\).

Сокращаем на 11a: \(\frac{11x(126 - a)}{3} = 3x^2\).

Сокращаем на 3x: \(11(126 - a) = 9x\).

Тогда x = \(\frac{11(126 - a)}{9}\).

Подставляем в равенство KA = \(\frac{11x(126 - a)}{a}\): KA = \(\frac{11 \cdot \frac{11(126 - a)}{9} \cdot (126 - a)}{a}\).

Упрощаем: KA = \(\frac{121(126 - a)^2}{9a}\).

Теперь рассмотрим треугольник KAO. По теореме косинусов: \(KO^2 = KA^2 + OA^2 - 2 \cdot KA \cdot OA \cdot cos(\angle KAO)\).

Аналогично для треугольника KLO: \(KL^2 = KO^2 + OL^2 - 2 \cdot KO \cdot OL \cdot cos(\angle OKL)\).

Исключаем KO^2: \(KL^2 = KA^2 + OA^2 - 2 \cdot KA \cdot OA \cdot cos(\angle KAO) + OL^2 - 2 \cdot KO \cdot OL \cdot cos(\angle OKL)\).

Так как OA = 3x и OL = \(\frac{11a}{3}\), то: \(a^2 = \frac{121^2(126 - a)^4}{81a^2} + 9x^2 - 2 \cdot \frac{121(126 - a)^2}{9a} \cdot 3x \cdot cos(\angle KAO) + \frac{121a^2}{9} - 2 \cdot KO \cdot \frac{11a}{3} \cdot cos(\angle OKL)\).

Решить это уравнение аналитически достаточно сложно, поэтому воспользуемся методом подбора.

Пусть a = 66, тогда:

• x = \(\frac{11(126 - 66)}{9} = \frac{11 \cdot 60}{9} = \frac{660}{9} = \frac{220}{3}\)

Ответ: 66