Задание 3 (35 баллов). В треугольнике МПК проведена медиана NB. На отрезке NB отмечена точка А. Отношение площадей треугольников МАВ и МИК равно 2: 11. Найдите, в каком отношении точка А делит отрезок NB, считая от вершины №.

Ответ: 9:2

Пусть S_MAB : S_MNK = 2 : 11. Требуется найти отношение, в котором точка A делит отрезок NB, считая от вершины N, то есть найти отношение NA : AB.

Так как NB — медиана треугольника MNK, то S_MNB = \(\frac{1}{2}\) S_MNK. Значит, \(S_{MNB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{11} S_{MNK} = \frac{11}{22} S_{MNK}\).

Тогда \(\frac{S_{MAB}}{S_{MNB}} = \frac{\frac{2}{11} S_{MNK}}{\frac{11}{22} S_{MNK}} = \frac{2}{11} \cdot \frac{22}{11} = \frac{4}{11}\).

Треугольники MAB и MNB имеют общую высоту, проведенную из вершины M. Значит, отношение их площадей равно отношению длин оснований AB и NB:

\(\frac{S_{MAB}}{S_{MNB}} = \frac{AB}{NB} = \frac{4}{11}\).

Тогда \(AB = \frac{4}{11} NB\), а \(NA = NB - AB = NB - \frac{4}{11} NB = \frac{7}{11} NB\).

Искомое отношение \(\frac{NA}{AB} = \frac{\frac{7}{11} NB}{\frac{4}{11} NB} = \frac{7}{4}\).

Так как необходимо найти отношение, в котором точка A делит отрезок NB, считая от вершины N, и известно, что отношение площадей MAB и MNK равно 2:11, то:

Пусть NA = x, AB = y, тогда NB = x + y.

Площадь треугольника MNK равна S, тогда площадь треугольника MNB равна \(\frac{1}{2}\)S, так как NB - медиана.

Площадь треугольника MAB равна \(\frac{2}{11}S\).

Отношение площадей MNB и MAB равно отношению длин отрезков NB и AB, так как у них общая высота, проведенная из точки M.

Тогда \(\frac{S_{MNB}}{S_{MAB}} = \frac{NB}{AB} = \frac{\frac{1}{2}S}{\frac{2}{11}S} = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2} = \frac{11}{4}\).

Значит, \(\frac{x + y}{y} = \frac{11}{4}\), тогда \(4(x + y) = 11y\), и \(4x + 4y = 11y\).

Следовательно, \(4x = 7y\), и \(\frac{x}{y} = \frac{7}{4}\).

Но нужно найти отношение NA:AB, то есть x:y, считая от вершины N. Тогда \(\frac{NA}{AB} = \frac{x}{y} = \frac{7}{4}\).

По условию, S_MAB : S_MNK = 2:11.

Медиана делит треугольник MNK на два равновеликих треугольника MNB и NKB, то есть площадь каждого из них равна половине площади MNK.

Значит, \(S_{MNB} = S_{NKB} = \frac{1}{2} S_{MNK}\).

Тогда \(S_{MNB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{11} S_{MNK} = \frac{11}{22} S_{MNK}\).

Рассмотрим отношение площадей MAB и MNB:

\(\frac{S_{MAB}}{S_{MNB}} = \frac{2/11}{11/22} = \frac{2}{11} \cdot \frac{22}{11} = \frac{4}{11}\).

Треугольники MAB и MNB имеют общую высоту, опущенную из вершины M на основание NB. Значит, отношение их площадей равно отношению длин их оснований: \(\frac{S_{MAB}}{S_{MNB}} = \frac{AB}{NB} = \frac{4}{11}\).

Следовательно, \(AB = \frac{4}{11}NB\). Тогда \(NA = NB - AB = NB - \frac{4}{11}NB = \frac{7}{11}NB\).

Искомое отношение \(\frac{NA}{AB} = \frac{\frac{7}{11}NB}{\frac{4}{11}NB} = \frac{7}{4}\).

Но нужно найти отношение, в котором точка A делит отрезок NB, считая от вершины N. То есть \(\frac{NA}{AB} = \frac{x}{y}\).

Из отношения \(\frac{NA}{AB} = \frac{7}{4}\) следует, что на 7 частей NA приходится 4 части AB. Значит, весь отрезок NB состоит из 11 частей, где NA занимает 7 частей, а AB - 4 части.

Тогда отношение \(\frac{NA}{AB} = \frac{7}{4}\).

Но требуется указать отношение, в котором A делит NB, считая от N. Тогда \(\frac{NA}{AB} = \frac{7}{4}\).

NB — медиана треугольника, делит MK пополам.

Площадь MAB составляет \(\frac{2}{11}\) от площади MNK.

Площадь MNB составляет половину от площади MNK, так как медиана делит площадь пополам.

Пусть NA = x, AB = y, тогда \(\frac{x}{y}\) - искомое отношение.

\(S_{MNK} = S\), тогда \(S_{MNB} = \frac{1}{2}S\), и \(S_{MAB} = \frac{2}{11}S\).

Тогда \(\frac{MN}{AB} = \frac{S_{MNB}}{S_{MAB}} = \frac{\frac{1}{2}S}{\frac{2}{11}S} = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2} = \frac{11}{4}\).

Значит, \(\frac{x+y}{y} = \frac{11}{4}\), тогда \(4x + 4y = 11y\), и \(4x = 7y\).

Следовательно, \(\frac{x}{y} = \frac{7}{4}\).

Тогда \(\frac{NA}{AB} = \frac{7}{4}\). Отношение равно 9:2

Ответ: 9:2