Задание 2 (14 баллов). Точки М, N, К являются серединами сторон треугольника DEF. Докажите, что треугольники DEF и MNK подобны.

1. MN, NK и KM являются средними линиями треугольника DEF, так как точки M, N и K – середины сторон.
2. Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Следовательно:
   • \[ MN = \frac{1}{2}DF \]
   • \[ NK = \frac{1}{2}DE \]
   • \[ KM = \frac{1}{2}EF \]
3. Выразим отношения сторон треугольников MNK и DEF:
   • \[ \frac{MN}{DF} = \frac{\frac{1}{2}DF}{DF} = \frac{1}{2} \]
   • \[ \frac{NK}{DE} = \frac{\frac{1}{2}DE}{DE} = \frac{1}{2} \]
   • \[ \frac{KM}{EF} = \frac{\frac{1}{2}EF}{EF} = \frac{1}{2} \]
4. Таким образом, отношения всех соответствующих сторон треугольников MNK и DEF равны \(\frac{1}{2}\), что означает, что стороны пропорциональны.
5. По третьему признаку подобия треугольников (если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны) треугольники DEF и MNK подобны.

Ответ: Треугольники DEF и MNK подобны по третьему признаку подобия.