6. Задание 18 № 314921 Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.

Обозначим основания трапеции как $$a = 3$$ и $$b = 9$$. Угол между боковой стороной и основанием равен $$30^{circ}$$, а боковая сторона равна 3.

Высоту трапеции можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Поскольку трапеция, скорее всего, не равнобедренная, эта часть большего основания равна $$x = b - a = 9 - 3 = 6$$.

В прямоугольном треугольнике против угла в $$30^{circ}$$ лежит катет, равный половине гипотенузы, но гипотенуза у нас равна боковой стороне 3, что противоречит условию. Значит, угол $$30^{circ}$$ прилегает к большему основанию, и $$h = 3 \cdot \sin(30^{circ}) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5$$.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{3 + 9}{2} \cdot 1.5 = \frac{12}{2} \cdot 1.5 = 6 \cdot 1.5 = 9$$

Ответ: 9