Задание 3. АBCDA,B,C,D, куб. Прямая а проходит через середины AD u BC. Докажи, что прямая а перпендикулярна АА1

Ответ: Прямая а перпендикулярна АА₁

Пусть M и N – середины отрезков AD и BC соответственно, а прямая a проходит через точки M и N. Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб, то ABCD – квадрат, и все углы в нем прямые. Значит, AD || BC.

Поскольку M и N – середины AD и BC, то AM = \(\frac{1}{2}\)AD и BN = \(\frac{1}{2}\)BC. Следовательно, AM = BN. Четырехугольник AMNB – прямоугольник, так как AM || BN и \(\angle A = 90^\circ \).

Прямая a (то есть прямая MN) перпендикулярна AD и BC. Так как AA₁ перпендикулярна плоскости основания ABCD, то AA₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая AD и BC. Следовательно, прямая a (MN) перпендикулярна AA₁.

Ответ: Прямая а перпендикулярна АА₁