Задание 6. Реши задачу Дан треугольник АВС. Сторона АВ лежит в плоскости а. Сторона АС перпендикулярна с. МА-МВ-4, СН-НВ-5. Найди МН.

Ответ: МН = \(\sqrt{41}\)

Так как сторона AC перпендикулярна плоскости α, то CH, являющаяся проекцией наклонной MC на эту плоскость, перпендикулярна прямой AB, лежащей в плоскости α.

Треугольник CHB – прямоугольный, так как CH перпендикулярна HB. По условию CH = 5 и HB = 5, следовательно, по теореме Пифагора:

\[CB = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

Так как MA = MB = 4, то M – середина отрезка AB. Следовательно, MC – медиана прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе. Значит, MC = MA = MB = 4.

Треугольник MCH – прямоугольный, так как AC перпендикулярна плоскости α, следовательно, и CH перпендикулярна MC. По теореме Пифагора:

\[MH = \sqrt{MC^2 + CH^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\]

Ответ: МН = \(\sqrt{41}\)