Задание 7: Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью (v_0 = 24) м/с, начал торможение с постоянным ускорением (a = 3) м/с². За (t) секунд после начала торможения он прошёл путь (S = v_0t - \frac{at^2}{2}) (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 72 метра. Ответ дайте в секундах.

Решение: 1. Запишем формулу пути, пройденного автомобилем при торможении: \[S = v_0t - \frac{at^2}{2}\] 2. Подставим известные значения: (S = 72) м, (v_0 = 24) м/с, (a = 3) м/с²: \[72 = 24t - \frac{3t^2}{2}\] 3. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[144 = 48t - 3t^2\] 4. Перенесём все члены в левую часть уравнения и получим квадратное уравнение: \[3t^2 - 48t + 144 = 0\] 5. Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его: \[t^2 - 16t + 48 = 0\] 6. Решим квадратное уравнение. Для этого найдём дискриминант (D): \[D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 cdot 1 cdot 48 = 256 - 192 = 64\] 7. Так как (D > 0), уравнение имеет два корня. Найдём их: \[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{64}}{2 cdot 1} = \frac{16 + 8}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{64}}{2 cdot 1} = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4\] 8. Оба корня (t_1 = 12) и (t_2 = 4) положительные и, теоретически, могут быть решением. Однако, нам нужно понять, какой из них подходит в данной физической ситуации. Автомобиль начал торможение со скоростью 24 м/с и тормозит с ускорением 3 м/с². Это значит, что автомобиль полностью остановится через время (t_{stop} = \frac{v_0}{a} = \frac{24}{3} = 8) секунд. Поскольку первый корень (t_1 = 12) больше, чем время полной остановки, он не имеет физического смысла, так как автомобиль не мог двигаться после полной остановки. Следовательно, правильный ответ – (t_2 = 4) секунды. Ответ: 4