Задание 11: Бабушка решила разделить конфеты между внуками поровну. Она обнаружила, что если бы конфет было на 15 штук больше, то их можно было бы разделить поровну. А если бы конфет было на 4 штуки больше, то после деления поровну осталась бы одна лишняя конфета. Сколько у бабушки внуков? Запиши решение и ответ.

Решение: Пусть количество внуков равно x. Пусть количество конфет равно y. Тогда, если бы конфет было на 15 больше, то y+15 делилось бы на x без остатка. Если бы конфет было на 4 больше, то y+4 при делении на x давало бы остаток 1. То есть: 1) \(\frac{y+15}{x} = целое число\) 2) \(\frac{y+4}{x} = целое число + \frac{1}{x}\) Из второго уравнения следует, что \(y+4 = kx + 1\), где k - целое число. Тогда \(y = kx - 3\). Подставим это в первое уравнение: \(\frac{kx - 3 + 15}{x} = \frac{kx + 12}{x} = k + \frac{12}{x} = целое число\) Значит, \(\frac{12}{x}\) должно быть целым числом. Это означает, что x является делителем числа 12. Возможные значения x: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Если x = 1, то y = k - 3. Но если есть только один внук, то условие задачи не имеет смысла. Если x = 2, то y = 2k - 3. \(\frac{y+4}{x} = \frac{2k-3+4}{2} = \frac{2k+1}{2}\). Это должно давать остаток 1 при делении на 2, что выполняется. Если x = 3, то y = 3k - 3. \(\frac{y+4}{x} = \frac{3k-3+4}{3} = \frac{3k+1}{3}\). Это должно давать остаток 1 при делении на 3, что выполняется. Если x = 4, то y = 4k - 3. \(\frac{y+4}{x} = \frac{4k-3+4}{4} = \frac{4k+1}{4}\). Это должно давать остаток 1 при делении на 4, что выполняется. Если x = 6, то y = 6k - 3. \(\frac{y+4}{x} = \frac{6k-3+4}{6} = \frac{6k+1}{6}\). Это должно давать остаток 1 при делении на 6, что выполняется. Если x = 12, то y = 12k - 3. \(\frac{y+4}{x} = \frac{12k-3+4}{12} = \frac{12k+1}{12}\). Это должно давать остаток 1 при делении на 12, что выполняется. Проверим условие с 15 конфетами. Если \(\frac{y+15}{x}\) - целое число, то \(\frac{kx - 3 + 15}{x} = \frac{kx + 12}{x} = k + \frac{12}{x}\) должно быть целым числом. То есть, \(\frac{12}{x}\) должно быть целым числом. Это выполняется для всех делителей 12. Нужно выбрать такое x, чтобы y было положительным числом. Например, если k = 1, то y = x - 3. Значит, x должно быть больше 3. Подходят 4, 6 и 12. Если k = 2, то y = 2x - 3. Здесь все x подходят. Возьмем минимальное число внуков, которое больше 3, это 4. Тогда y = 4k - 3. Пусть k = 1, тогда y = 1. Проверяем: \(\frac{1+15}{4} = 4\), \(\frac{1+4}{4} = \frac{5}{4} = 1 + \frac{1}{4}\). Все условия соблюдены. Ответ: 4 внука