Задание 4. Докажите тождество с помощью свойств. (A∪B)∪(A∪B) = B\A

Для доказательства этого тождества будем использовать свойства операций над множествами.

(A∪B)∪(A∪B) = B\A

Пошаговое решение:

1. Раскрываем внешнюю инверсию по закону де Моргана: \( (\overline{A} ∩ \overline{B}) ∪ (A ∩ \overline{B}) \)
2. Перегруппируем члены: \( (\overline{A} ∩ \overline{B}) ∪ (A ∩ \overline{B}) = (\overline{A} ∪ A) ∩ \overline{B} \)
3. Так как \( \overline{A} ∪ A = U \) (универсальное множество), получаем: \( U ∩ \overline{B} = \overline{B} \)
4. Преобразуем правую часть: \( B \\ A = B ∩ \overline{A} \)

Исходное выражение: \( (\overline{A} ∪ B) ∩ (A ∪ \overline{B}) \)

Разложим на компоненты: \( (\overline{A} ∪ B) ∩ (A ∪ \overline{B}) = (\overline{A} ∩ A) ∪ (\overline{A} ∩ \overline{B}) ∪ (B ∩ A) ∪ (B ∩ \overline{B}) \)

Упростим: \( ∅ ∪ (\overline{A} ∩ \overline{B}) ∪ (B ∩ A) ∪ ∅ = (\overline{A} ∩ \overline{B}) ∪ (A ∩ B) \)

Приведем к виду \( B \\ A = B ∩ \overline{A} \): \( B ∩ \overline{A} \) является частью множества B, которая не входит в A, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано. (A∪B)∪(A∪B) = B\A