Задание 3. Упростите данное выражение с помощью свойств 1) (A∩B)∩B 2) Ā∪(A\B)∪(Ā\B)

1) ($$\overline{A ∩ B}$$)∩B

Пошаговое решение:

1. Используем закон де Моргана: \( (\overline{A ∩ B}) = \overline{A} ∪ \overline{B} \)
2. Теперь выражение выглядит так: \( (\overline{A} ∪ \overline{B}) ∩ B \)
3. Применяем дистрибутивный закон: \( (\overline{A} ∩ B) ∪ (\overline{B} ∩ B) \)
4. Так как \( \overline{B} ∩ B = ∅ \), получаем: \( \overline{A} ∩ B \)

Ответ: \(\overline{A} ∩ B\)

2) Ā∪(A\B)∪(Ā\B)

Пошаговое решение:

1. Заменим разность множеств: \( A \\ B = A ∩ \overline{B} \), \( \overline{A} \\ B = \overline{A} ∩ \overline{B} \)
2. Тогда выражение: \( \overline{A} ∪ (A ∩ \overline{B}) ∪ (\overline{A} ∩ \overline{B}) \)
3. Объединим первые два члена: \( (\overline{A} ∪ A) ∩ (\overline{A} ∪ \overline{B}) ∪ (\overline{A} ∩ \overline{B}) \)
4. Так как \( \overline{A} ∪ A = U \) (универсальное множество), получаем: \( U ∩ (\overline{A} ∪ \overline{B}) ∪ (\overline{A} ∩ \overline{B}) \)
5. Упрощаем: \( (\overline{A} ∪ \overline{B}) ∪ (\overline{A} ∩ \overline{B}) \)
6. Применяем дистрибутивность: \( \overline{A} ∪ (\overline{B} ∩ \overline{B}) = \overline{A} ∪ \overline{B} \)

Ответ: \(\overline{A} ∪ \overline{B}\)