Задание 3: Две стороны треугольника равны 5 см и 4 см, угол между ними 60°. Найти третью сторону треугольника и его площадь.

Для решения этой задачи нам понадобятся теорема косинусов и формула площади треугольника. **1. Нахождение третьей стороны:** Пусть стороны треугольника *a* = 5 см, *b* = 4 см, угол между ними \(\gamma\) = 60°. Третью сторону *c* найдем по теореме косинусов: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)\] Подставляем известные значения: \[c^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot cos(60°)\] Так как \(cos(60°) = \frac{1}{2}\), то: \[c^2 = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2} = 41 - 20 = 21\] Следовательно, \(c = \sqrt{21}\) см. **2. Нахождение площади треугольника:** Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma)\] Подставляем известные значения: \[S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot sin(60°)\] Так как \(sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то: \[S = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\] Следовательно, площадь треугольника равна \(5\sqrt{3}\) см². **Ответ:** Третья сторона треугольника равна \(\sqrt{21}\) см, а его площадь равна \(5\sqrt{3}\) см².