Задание 5: Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найти наибольшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы для площади треугольника (формула Герона), радиуса вписанной и описанной окружностей. **1. Находим площадь треугольника:** Пусть стороны треугольника *a* = 10 см, *b* = 17 см, *c* = 21 см. Полупериметр *p*: \[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24\] Площадь *S* по формуле Герона: \[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{24(24 - 10)(24 - 17)(24 - 21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{7056} = 84\] Следовательно, площадь треугольника равна 84 см². **2. Находим наибольшую высоту:** Наибольшая высота опускается на наименьшую сторону. В данном случае, наименьшая сторона *a* = 10 см. Площадь треугольника также можно выразить как \(S = \frac{1}{2}ah_a\), где \(h_a\) - высота, опущенная на сторону *a*. Выражаем высоту: \[h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 84}{10} = \frac{168}{10} = 16.8\] Следовательно, наибольшая высота треугольника равна 16.8 см. **3. Находим радиус вписанной окружности:** Радиус вписанной окружности *r*: \[r = \frac{S}{p} = \frac{84}{24} = 3.5\] Следовательно, радиус вписанной окружности равен 3.5 см. **4. Находим радиус описанной окружности:** Радиус описанной окружности *R*: \[R = \frac{abc}{4S} = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot 84} = \frac{3570}{336} = 10.625\] Следовательно, радиус описанной окружности равен 10.625 см. **Ответ:** Наибольшая высота треугольника равна 16.8 см, радиус вписанной окружности равен 3.5 см, радиус описанной окружности равен 10.625 см.