Задание 3. Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана формулой n-го члена: \(b_n = 0,9 \cdot 6^{n-1}\). Заполните пропуски:

Решение: a) Найдем \(b_1\) и \(b_2\): \(b_1 = 0,9 \cdot 6^{1-1} = 0,9 \cdot 6^0 = 0,9 \cdot 1 = 0,9\) \(b_2 = 0,9 \cdot 6^{2-1} = 0,9 \cdot 6^1 = 0,9 \cdot 6 = 5,4\) б) Найдем знаменатель прогрессии \(q\): \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5,4}{0,9} = 6\) в) Найдем \(\frac{b_7}{b_9}\): \(\frac{b_7}{b_9} = \frac{0,9 \cdot 6^{7-1}}{0,9 \cdot 6^{9-1}} = \frac{6^6}{6^8} = \frac{1}{6^{8-6}} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}\) г) Найдем \(\frac{b_6 + b_3}{b_7 + b_4}\): \(b_6 = 0,9 \cdot 6^{6-1} = 0,9 \cdot 6^5 = 0,9 \cdot 7776 = 6998,4\) \(b_3 = 0,9 \cdot 6^{3-1} = 0,9 \cdot 6^2 = 0,9 \cdot 36 = 32,4\) \(b_7 = 0,9 \cdot 6^{7-1} = 0,9 \cdot 6^6 = 0,9 \cdot 46656 = 41990,4\) \(b_4 = 0,9 \cdot 6^{4-1} = 0,9 \cdot 6^3 = 0,9 \cdot 216 = 194,4\) \(\frac{b_6 + b_3}{b_7 + b_4} = \frac{6998,4 + 32,4}{41990,4 + 194,4} = \frac{7030,8}{42184,8} = \frac{70308}{421848} = \frac{35154}{210924} = \frac{17577}{105462} = \frac{5859}{35154} = \frac{1953}{11718} = \frac{651}{3906} = \frac{217}{1302} = \frac{31}{186} = \frac{1}{6}\) Ответ: a) \(b_1 = 0,9\), \(b_2 = 5,4\) б) \(q = 6\) в) \(\frac{b_7}{b_9} = \frac{1}{36}\) г) \(\frac{b_6 + b_3}{b_7 + b_4} = \frac{1}{6}\)