Задание 9. Геометрия. Стереометрия. Дана правильная треугольная призма ABCА1В1С1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, С, А1, В1, С1.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эту задачу вместе. 1. Визуализация: Представим себе правильную треугольную призму ABCА1В1С1. Нам нужно найти объем многогранника, образованного вершинами А, С, А1, В1, С1. Этот многогранник представляет собой четырехугольную пирамиду с основанием А1В1С1С и вершиной в точке А. 2. Анализ: Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. В нашем случае, основание – это прямоугольник А1В1С1С, а высота – расстояние от точки A до плоскости A1B1C1C, что равно высоте исходной призмы. 3. Площадь основания пирамиды: Площадь прямоугольника A1B1C1C равна произведению стороны B1C1 (которая равна стороне основания призмы BC) на высоту призмы A1A. Мы знаем, что площадь основания призмы (треугольника ABC) равна 8. Значит, $S_{ABC} = \frac{1}{2} * BC * h = 8$, где h - высота треугольника ABC, опущенная на сторону BC. Отсюда $BC * h = 16$. 4. Выражение площади прямоугольника: Прямоугольник A1B1C1C имеет площадь $S_{A1B1C1C} = B1C1 * A1A = BC * A1A = BC * 6 = 6BC$. 5. Высота пирамиды: Высота нашей пирамиды, опущенная из вершины А на основание А1В1С1С, равна высоте призмы, то есть 6. 6. Связь площади треугольника и стороны основания: Нам нужно выразить BC через известные величины. Мы знаем, что площадь правильного треугольника ABC равна 8. Также знаем, что высота правильного треугольника связана с его стороной соотношением $h = \frac{\sqrt{3}}{2} * BC$. Тогда $BC * \frac{\sqrt{3}}{2} * BC = 16 $. $BC^2 = \frac{32}{\sqrt{3}}$. $BC = \sqrt{\frac{32}{\sqrt{3}}}$ 7. Нахождение объема пирамиды: Объем пирамиды равен: $V = \frac{1}{3} * S_{A1B1C1C} * h_{пирамиды} = \frac{1}{3} * (BC * A1A) * h_{пирамиды} = \frac{1}{3} * (BC * 6) * h_{пирамиды}$ Площадь основания призмы равна 8, следовательно, площадь треугольника равна $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 8$, где $a$ - сторона основания призмы. Отсюда, $a^2 = \frac{32}{\sqrt{3}}$, и $a = \sqrt{\frac{32}{\sqrt{3}}}$. Тогда, объем пирамиды $V = \frac{1}{3} * (\sqrt{\frac{32}{\sqrt{3}}} * 6) * 6 = \frac{1}{3} * a*6*6$, где $a$ - сторона основания призмы. Так как площадь основания призмы равна 8, а боковое ребро равно 6, то объём призмы $V_{призмы} = S_{осн} * h = 8 * 6 = 48$. Рассматриваемый многогранник (пирамида) составляет $\frac{5}{6}$ от объема призмы. Таким образом, объем равен $\frac{5}{6} * 48 = 40$. Ответ: 40