Задание № 6 Хорда окружности равна 6 и стягивает дугу 60°. Найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора. Задание с развернутым ответом (чертеж, дано, найти, решение, ответ).

Ответ:

Хорда стягивает дугу 60°, значит, центральный угол, опирающийся на эту хорду, также равен 60°. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Так как угол между радиусами 60°, этот треугольник является равносторонним.

Следовательно, радиус окружности равен длине хорды: \[R = 6\]

Длина дуги (l) вычисляется по формуле: \[l = \frac{\pi R \theta}{180}\] где θ - центральный угол в градусах.

Подставим значения R = 6 и θ = 60°: \[l = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 60}{180} = \frac{360\pi}{180} = 2\pi\]

Длина дуги равна: \[l = 2\pi \approx 6.28\]

Площадь сектора (S) вычисляется по формуле: \[S = \frac{\pi R^2 \theta}{360}\]

Подставим значения R = 6 и θ = 60°: \[S = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60}{360} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 60}{360} = \frac{2160\pi}{360} = 6\pi\]

Площадь сектора равна: \[S = 6\pi \approx 18.85\]