Задание 13: Какое наименьшее число рёбер придётся пройти дважды, чтобы обойти все рёбра куба?

Решение: У куба 8 вершин и 12 рёбер. Каждая вершина куба соединена с тремя другими вершинами. Чтобы обойти все рёбра куба, нужно пройти по каждому ребру хотя бы один раз. Если начать обход с какой-либо вершины, то после прохождения по трём рёбрам, выходящим из этой вершины, мы придём в другую вершину. Чтобы из этой вершины выйти и вернуться в исходную, нужно пройти по одному из рёбер, выходящих из неё, ещё раз. В кубе 8 вершин, и в каждой вершине сходится 3 ребра. Если мы хотим обойти все ребра, то нужно сделать так, чтобы в каждую вершину входило и выходило четное число ребер. Так как в каждой вершине сходятся 3 ребра, нам нужно добавить как минимум одно ребро к каждой вершине, чтобы сделать число ребер четным. Чтобы определить минимальное число рёбер, которые нужно пройти дважды, нужно найти число вершин с нечетной степенью (количеством рёбер). В кубе все 8 вершин имеют степень 3 (нечетную). Чтобы все вершины имели четную степень, нужно добавить как минимум \(\frac{8}{2} = 4\) ребра, пройдя их дважды. Ответ: 4 Развернутый ответ: В кубе 12 рёбер и 8 вершин. Каждая вершина имеет степень 3, то есть из неё выходит 3 ребра. Чтобы обойти все рёбра куба и вернуться в начальную точку, необходимо, чтобы каждая вершина имела чётную степень. Так как у каждой вершины степень 3 (нечётная), нужно добавить рёбра так, чтобы степень каждой вершины стала чётной. Минимальное число рёбер, которые нужно пройти дважды, равно половине числа вершин с нечётной степенью, то есть \(\frac{8}{2} = 4\).