Задание 15. Косинус острого угла \(M\) треугольника \(MNK\) равен \(\frac{3}{5}\). Найди \(\sin \angle M\).

Давайте решим эту задачу. Нам дан косинус острого угла \(M\) в прямоугольном треугольнике \(MNK\), и нам нужно найти синус этого угла. Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество, которое связывает синус и косинус одного и того же угла: \[\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\] В нашем случае, \(\alpha = \angle M\), и мы знаем, что \(\cos(\angle M) = \frac{3}{5}\). Подставим это значение в тождество: \[\sin^2(\angle M) + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1\] Теперь найдем \(\sin^2(\angle M)\): \[\sin^2(\angle M) + \frac{9}{25} = 1\] \[\sin^2(\angle M) = 1 - \frac{9}{25}\] \[\sin^2(\angle M) = \frac{25}{25} - \frac{9}{25}\] \[\sin^2(\angle M) = \frac{16}{25}\] Теперь найдем \(\sin(\angle M)\). Так как угол \(M\) острый, то его синус положителен: \[\sin(\angle M) = \sqrt{\frac{16}{25}}\] \[\sin(\angle M) = \frac{4}{5}\] Таким образом, \(\sin \angle M = \frac{4}{5}\). **Ответ: \(\frac{4}{5}\)** Развернутое объяснение для школьника: Представь себе, что у нас есть прямоугольный треугольник, и мы знаем, как выглядит косинус одного из острых углов. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Наша задача - найти синус этого же угла. Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Чтобы найти синус, мы используем специальную формулу, которая всегда работает для любого угла: \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\). Она говорит, что если мы возведем в квадрат синус угла и косинус этого же угла, а потом сложим их, то всегда получим 1. В нашей задаче мы знаем косинус, поэтому можем найти синус. Просто подставляем известное значение косинуса в формулу, решаем уравнение и находим синус. Важно помнить, что синус острого угла всегда положительный, поэтому выбираем положительный корень.