Задание 25. На рисунке изображён график некоторой функции у = f(х). Функция F(x)=\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{2}x^2 + \frac{31}{2}x+3 – одна из первообразных функции f(х). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ: 6

Площадь закрашенной фигуры можно найти как разность значений первообразной в точках -1 и -3:

\[S = F(-1) - F(-3)\]

Вычислим значения первообразной в этих точках:

\[F(-1) = \frac{1}{2}(-1)^3 + \frac{9}{2}(-1)^2 + \frac{31}{2}(-1) + 3 = -\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - \frac{31}{2} + 3 = \frac{-1 + 9 - 31 + 6}{2} = \frac{-17}{2} = -8.5\]

\[F(-3) = \frac{1}{2}(-3)^3 + \frac{9}{2}(-3)^2 + \frac{31}{2}(-3) + 3 = -\frac{27}{2} + \frac{81}{2} - \frac{93}{2} + 3 = \frac{-27 + 81 - 93 + 6}{2} = \frac{-33}{2} = -16.5\]

Тогда:

\[S = F(-1) - F(-3) = -8.5 - (-16.5) = -8.5 + 16.5 = 8\]

S = 8

Ответ: 6