Задание 5: Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны 60° и 135° соответственно, а сторона CD = 42.

Для решения задачи опустим высоты AH и BK из вершин A и B на основание CD. 1. Рассмотрим трапецию ABCD. Сумма углов BCD и ADC равна 180°, так как это углы прилежащие к боковой стороне трапеции. Угол BCD = 135°, значит угол ADC = 180° - 135° = 45°. 2. Рассмотрим треугольник BCK. Так как угол BCD = 135°, то угол BCK = 180° - 135° = 45°. Следовательно, треугольник BCK — прямоугольный и равнобедренный, значит BK = CK. 3. Рассмотрим треугольник ADH. Так как угол ADC = 45°, то треугольник ADH — прямоугольный и равнобедренный, значит AH = DH. 4. Так как AH = BK, то DH = CK. Обозначим DH = CK = x. 5. Рассмотрим треугольник BCK: \(BK = CK = x\). Тогда из прямоугольного треугольника BCK имеем: \(CD = CK + KD\) 6. Рассмотрим треугольник ABK. Угол ABC = 60°, значит угол ABK = 90° - 60° = 30°. В прямоугольном треугольнике ABK: \(AB = \frac{BK}{\cos(30^\circ)}\) Так как BK = x, то \(AB = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2x}{\sqrt{3}}\) 7. Рассмотрим треугольник BCK. По теореме Пифагора: \(BC^2 = BK^2 + CK^2 = x^2 + x^2 = 2x^2\) \(BC = x\sqrt{2}\) 8. Рассмотрим треугольник ADH: \(DH = AH = x\). Тогда из прямоугольного треугольника ADH имеем: \(AD = \frac{AH}{\sin(45^\circ)} = \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2x}{\sqrt{2}} = x\sqrt{2}\) 9. Рассмотрим четырехугольник ABKH. AK = BH = x. KD = CD - CK = 42 - x. Следовательно, AB = KD = 42 - x. Тогда: \(AB = 42 - x\) 10. Подставим полученное значение AB: \(\frac{2x}{\sqrt{3}} = 42 - x\) \(2x = 42\sqrt{3} - x\sqrt{3}\) \(2x + x\sqrt{3} = 42\sqrt{3}\) \(x(2 + \sqrt{3}) = 42\sqrt{3}\) \(x = \frac{42\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}\) \(x = \frac{42\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{42\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 42\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) = 84\sqrt{3} - 42 \cdot 3 = 84\sqrt{3} - 126\) 11. Найдем AB: \(AB = 42 - x = 42 - (84\sqrt{3} - 126) = 42 - 84\sqrt{3} + 126 = 168 - 84\sqrt{3} = 84(2 - \sqrt{3})\) Проверим ответ. Так как DH = CK = x. И CD = 42 = CK + KD. AH = BK = x. Следовательно, DH + CK + KB + AH = DC + AB. Ответ: \(AB = 84(2-\sqrt{3})\)