Задание 2. Найдите значение выражения: a) $$\frac{cos 72° + cos 12°}{sin 12° - sin 72°}$$ б) $$30\sqrt{6}cos(-\frac{\pi}{4})sin(-\frac{\pi}{3})$$ или Найдите sin 2x, если cos x = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ при x ∈ (0°; 90°)

Решение: a) Упростим выражение $$\frac{cos 72° + cos 12°}{sin 12° - sin 72°}$$. Используем формулы суммы и разности косинусов и синусов: $$cos α + cos β = 2 cos(\frac{α+β}{2}) cos(\frac{α-β}{2})$$ $$sin α - sin β = 2 cos(\frac{α+β}{2}) sin(\frac{α-β}{2})$$ Тогда: $$cos 72° + cos 12° = 2 cos(\frac{72°+12°}{2}) cos(\frac{72°-12°}{2}) = 2 cos(42°) cos(30°)$$ $$sin 12° - sin 72° = 2 cos(\frac{12°+72°}{2}) sin(\frac{12°-72°}{2}) = 2 cos(42°) sin(-30°)$$ Подставим в выражение: $$\frac{cos 72° + cos 12°}{sin 12° - sin 72°} = \frac{2 cos(42°) cos(30°)}{2 cos(42°) sin(-30°)} = \frac{cos(30°)}{sin(-30°)}$$ Так как $$cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ и $$sin(-30°) = -\frac{1}{2}$$, то: $$\frac{cos(30°)}{sin(-30°)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$$ Ответ: -$$\sqrt{3}$$ б) Упростим выражение $$30\sqrt{6}cos(-\frac{\pi}{4})sin(-\frac{\pi}{3})$$. Знаем, что $$cos(-\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ и $$sin(-\frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Тогда: $$30\sqrt{6}cos(-\frac{\pi}{4})sin(-\frac{\pi}{3}) = 30\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30 \cdot \frac{\sqrt{6 \cdot 2 \cdot 3}}{-4} = 30 \cdot \frac{\sqrt{36}}{-4} = 30 \cdot \frac{6}{-4} = -45$$ Ответ: -45 или Найдем sin 2x, если cos x = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ при x ∈ (0°; 90°). Известно, что $$sin^2 x + cos^2 x = 1$$. Тогда: $$sin^2 x = 1 - cos^2 x = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$ Поскольку x ∈ (0°; 90°), то sin x > 0. Следовательно, $$sin x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$. Используем формулу двойного угла: $$sin 2x = 2 sin x cos x$$ Подставим известные значения: $$sin 2x = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$