Задание 2. (ОБЗ) На ри- сунке изображены график функции у = f(x) и каса- тельная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите зна- чение производной функ- ции f(х) в точке хо 1)

Решение.

На рисунке изображён график функции $$y=f(x)$$. Необходимо найти значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.

Чтобы найти тангенс угла наклона, необходимо построить прямоугольный треугольник, где гипотенуза - касательная, а катеты параллельны осям координат.

Рассмотрим рисунок. Видим, что касательная проходит через точки с координатами $$(-3;0)$$ и $$(0;1)$$. Построим прямоугольный треугольник с вершинами в этих точках. Тогда катет, параллельный оси ординат, равен 1, а катет, параллельный оси абсцисс, равен 3.

Тангенс угла наклона касательной (и значение производной) равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$$f'(x_0) = \frac{1}{3}$$

Ответ: $$\frac{1}{3}$$