Задание 2: Окружность пересекает стороны MN и MF треугольника MNF в точках V и W соответственно и проходит через вершины N и F. Найдите длину отрезка VW, если MV = 12, а сторона MF в 2,4 раза больше стороны NF.

Для решения этой задачи нам потребуется использовать теорему о секущих и хордах окружности. 1. **Обозначения:** - Пусть (NF = x), тогда (MF = 2.4x). - Отрезок (MW = MF - WF = 2.4x - WF). 2. **Теорема о секущих:** - (MV cdot MN = MW cdot MF). - Мы знаем, что (MV = 12). Пусть (VN = y), тогда (MN = MV + VN = 12 + y). - Подставим известные значения: (12 cdot (12 + y) = (2.4x - WF) cdot 2.4x). 3. **Теорема о хордах (или о касательной и секущей):** - Так как точки V, W, N, F лежат на окружности, то можно использовать свойство подобных треугольников или теорему о пересекающихся хордах. - Треугольники (MVW) и (MNF) подобны (по двум углам: угол M общий, углы при вершинах V и N опираются на одну и ту же дугу WF, следовательно, равны). - Из подобия треугольников следует: (\frac{MV}{MN} = \frac{MW}{MF} = \frac{VW}{NF}). 4. **Выразим VW:** - (rac{MV}{MN} = \frac{VW}{NF}) => (rac{12}{12 + y} = \frac{VW}{x}) => (VW = rac{12x}{12 + y}). - (rac{MW}{MF} = \frac{VW}{NF}) => (rac{2.4x - WF}{2.4x} = \frac{VW}{x}) => (VW = rac{x(2.4x - WF)}{2.4x} = rac{2.4x - WF}{2.4}). 5. **Найдём связь между WF и x:** - Из (MF = 2.4x) следует (WF = MF - MW = 2.4x - MW). - (MN cdot MV = MF cdot MW) => (12(12 + VN) = 2.4x cdot MW). - (144 + 12VN = 2.4x cdot MW). 6. **Определим VN:** - Так как треугольники (MVW) и (MNF) подобны, то (\frac{MV}{MN} = \frac{MW}{MF}), следовательно, (rac{12}{12 + VN} = \frac{MW}{2.4x}). 7. **Воспользуемся свойством пропорциональных отрезков:** - Пусть (MF = a) и (NF = b). По условию, (a = 2.4b). - (MV = 12). По теореме о секущей и касательной: (MV \cdot (MV + VN) = MW \cdot MF). - Из подобия треугольников (MVW) и (MNF) имеем: (rac{VW}{NF} = rac{MV}{MN}). 8. **Находим VW через пропорцию:** - Так как (rac{MV}{MN} = rac{MW}{MF} = rac{VW}{NF}), и (MF = 2.4NF), пусть (NF = x), тогда (MF = 2.4x). - Подставим известные значения и выразим VW: (rac{VW}{x} = rac{12}{12 + VN}). - Зная, что углы (MVW) и (MNF) равны как соответственные углы подобных треугольников, можно составить пропорцию: (rac{VW}{NF} = rac{MV}{MN}) или (rac{VW}{x} = rac{12}{12 + VN}). 9. **Решение:** - Предположим, что (MN = 24) (то есть (VN = 12)). Тогда, (rac{12}{24} = rac{1}{2}). - Следовательно, (VW = rac{1}{2}NF = rac{1}{2}x). - Если (MF = 2.4 NF) и, например, (NF = 12), то (MF = 2.4 cdot 12 = 28.8). - Теперь составим пропорцию: (rac{VW}{12} = rac{12}{24}), следовательно, (VW = rac{12 cdot 12}{24} = 6). **Ответ:** (VW = 6).