Задание 58.7. Период полураспада кобальта-58 равен 72 сут. За какой промежуток времени число радиоактивных атомов этого изотопа уменьшится в 8 раз? Зависит ли ответ от начального числа (N₀) радиоактивных атомов?

Пусть $$N_0$$ - начальное количество атомов кобальта-58. Мы хотим, чтобы количество атомов уменьшилось в 8 раз, то есть стало $$\frac{N_0}{8}$$. Используем закон радиоактивного распада: $$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$, где $$N(t)$$ - количество атомов в момент времени t, $$N_0$$ - начальное количество атомов, $$\lambda$$ - постоянная распада. В нашем случае $$N(t) = \frac{N_0}{8}$$, поэтому: $$\frac{N_0}{8} = N_0 e^{-\lambda t}$$. Сокращаем на $$N_0$$: $$\frac{1}{8} = e^{-\lambda t}$$. Логарифмируем обе части: $$ln(\frac{1}{8}) = -\lambda t$$. $$ln(8^{-1}) = -\lambda t$$. $$-ln(8) = -\lambda t$$. $$ln(8) = \lambda t$$. $$t = \frac{ln(8)}{\lambda}$$. Поскольку период полураспада $$T = \frac{ln2}{\lambda}$$, то $$\lambda = \frac{ln2}{T}$$. Подставляем $$T = 72$$ сут: $$\lambda = \frac{ln2}{72}$$. Теперь найдем время t: $$t = \frac{ln(8)}{\frac{ln2}{72}} = \frac{ln(2^3)}{\frac{ln2}{72}} = \frac{3ln2}{\frac{ln2}{72}} = 3 \cdot 72 = 216$$ сут. Таким образом, число радиоактивных атомов кобальта-58 уменьшится в 8 раз за 216 суток. Ответ не зависит от начального числа атомов $$N_0$$, так как $$N_0$$ сократилось в уравнении. Ответ: 216 суток. Не зависит.