Задание 58.5. Период полураспада некоторого химического элемента равен T. Определите долю радиоактивных ядер этого элемента, распавшихся за промежуток времени t = T/2.

За время, равное периоду полураспада T, распадается половина начального количества ядер. За время t = T/2 распадется меньше половины, но больше нуля. Чтобы найти точную долю распавшихся ядер, используем закон радиоактивного распада: $$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$, где $$N(t)$$ - количество нераспавшихся ядер в момент времени t, $$N_0$$ - начальное количество ядер, $$\lambda$$ - постоянная распада. Поскольку $$T = \frac{ln2}{\lambda}$$, то $$\lambda = \frac{ln2}{T}$$. Подставляем $$t = \frac{T}{2}$$ в уравнение: $$N(\frac{T}{2}) = N_0 e^{-\frac{ln2}{T} \cdot \frac{T}{2}} = N_0 e^{-\frac{ln2}{2}} = N_0 e^{ln(2^{-1/2})} = N_0 \cdot 2^{-1/2} = \frac{N_0}{\sqrt{2}}$$ Доля нераспавшихся ядер равна $$\frac{N(\frac{T}{2})}{N_0} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$. Следовательно, доля распавшихся ядер равна $$1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 - 0.707 = 0.293$$, или 29.3%. Ответ: 29.3%