Задание 1: Построить график и найти для следующих функций: 1. Нули функции 2. Область определения D(y) 3. Область значений E(y) 4. Промежутки знакопостоянства a) ( y = x^2 + 2 ) b) ( y = (x+2)^2 ) c) ( y = |x-2| - 1 ) Задание 2: Найти нули функции для следующих функций: a) ( y = x^2 - 1 ) b) ( y = (x-1)^2 ) c) ( y = |x+1| - 2 )

Привет, ребята! Давайте разберем эти задания по порядку. Задание 1 a) (y = x^2 + 2) 1. Нули функции: Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение (x^2 + 2 = 0). \[x^2 = -2\]Так как квадрат числа не может быть отрицательным, у этой функции нет нулей. 2. Область определения (D(y)): Функция определена для всех действительных чисел. Значит, (D(y) = (-\infty; +\infty)). 3. Область значений (E(y)): Так как (x^2) всегда неотрицателен, минимальное значение (x^2) равно 0. Тогда минимальное значение функции (y = 0 + 2 = 2). Значит, (E(y) = [2; +\infty)). 4. Промежутки знакопостоянства: Функция всегда положительна, так как (x^2 + 2 > 0) для всех (x). Следовательно, функция положительна на всей области определения. b) (y = (x+2)^2) 1. Нули функции: Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение ((x+2)^2 = 0). \[x+2 = 0\]\[x = -2\]Таким образом, у функции один нуль: (x = -2). 2. Область определения (D(y)): Функция определена для всех действительных чисел, так как можно возвести любое число в квадрат. Значит, (D(y) = (-\infty; +\infty)). 3. Область значений (E(y)): Так как квадрат любого числа неотрицателен, то минимальное значение ((x+2)^2) равно 0. Значит, (E(y) = [0; +\infty)). 4. Промежутки знакопостоянства: Функция всегда неотрицательна. Она равна 0 только в точке (x = -2). Следовательно, функция положительна на интервалах ((-\infty; -2)) и ((-2; +\infty)). c) (y = |x-2| - 1) 1. Нули функции: Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение (|x-2| - 1 = 0). \[|x-2| = 1\]Это уравнение распадается на два случая: * (x-2 = 1), откуда (x = 3) * (x-2 = -1), откуда (x = 1) Таким образом, у функции два нуля: (x = 1) и (x = 3). 2. Область определения (D(y)): Функция определена для всех действительных чисел, так как модуль определен для любого числа. Значит, (D(y) = (-\infty; +\infty)). 3. Область значений (E(y)): Минимальное значение модуля равно 0, то есть (|x-2| \geq 0). Тогда минимальное значение функции (y = 0 - 1 = -1). Значит, (E(y) = [-1; +\infty)). 4. Промежутки знакопостоянства: Находим, где функция положительна и где отрицательна. Мы уже знаем нули функции: (x = 1) и (x = 3). Проверяем знаки на интервалах: * (x < 1): Например, (x = 0). Тогда (y = |0-2| - 1 = 2 - 1 = 1 > 0). * (1 < x < 3): Например, (x = 2). Тогда (y = |2-2| - 1 = 0 - 1 = -1 < 0). * (x > 3): Например, (x = 4). Тогда (y = |4-2| - 1 = 2 - 1 = 1 > 0). Следовательно, функция положительна на интервалах ((-\infty; 1)) и ((3; +\infty)), и отрицательна на интервале ((1; 3)). Задание 2 a) (y = x^2 - 1) Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение (x^2 - 1 = 0). \[x^2 = 1\]\[x = \pm 1\]Таким образом, у функции два нуля: (x = -1) и (x = 1). b) (y = (x-1)^2) Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение ((x-1)^2 = 0). \[x-1 = 0\]\[x = 1\]Таким образом, у функции один нуль: (x = 1). c) (y = |x+1| - 2) Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение (|x+1| - 2 = 0). \[|x+1| = 2\]Это уравнение распадается на два случая: * (x+1 = 2), откуда (x = 1) * (x+1 = -2), откуда (x = -3) Таким образом, у функции два нуля: (x = -3) и (x = 1). Надеюсь, теперь все понятно! Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.