Задание 174: Построить треугольник ABC по координатам его вершин и найти координаты точек пересечения сторон треугольника с осями координат. а) A(8; -6), B(3; 4), C(-6; 1) б) A(-3; -2), B(1; 6), C(9; -6)

Для решения этой задачи нам потребуется: 1. Построить треугольник на координатной плоскости. 2. Найти уравнения прямых, содержащих стороны треугольника. 3. Определить точки пересечения этих прямых с осями координат. **а) A(8; -6), B(3; 4), C(-6; 1)** *Шаг 1: Находим уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.* Уравнение прямой, проходящей через две точки ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)), можно записать в виде: $$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$ * Прямая AB: $$\frac{y - (-6)}{4 - (-6)} = \frac{x - 8}{3 - 8}$$ $$\frac{y + 6}{10} = \frac{x - 8}{-5}$$ $$y + 6 = -2(x - 8)$$ $$y = -2x + 16 - 6$$ $$y = -2x + 10$$ * Прямая BC: $$\frac{y - 4}{1 - 4} = \frac{x - 3}{-6 - 3}$$ $$\frac{y - 4}{-3} = \frac{x - 3}{-9}$$ $$y - 4 = \frac{1}{3}(x - 3)$$ $$y = \frac{1}{3}x - 1 + 4$$ $$y = \frac{1}{3}x + 3$$ * Прямая AC: $$\frac{y - (-6)}{1 - (-6)} = \frac{x - 8}{-6 - 8}$$ $$\frac{y + 6}{7} = \frac{x - 8}{-14}$$ $$y + 6 = -\frac{1}{2}(x - 8)$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 4 - 6$$ $$y = -\frac{1}{2}x - 2$$ *Шаг 2: Находим точки пересечения с осями координат.* Точка пересечения с осью (Ox) (ось абсцисс): (y = 0). Точка пересечения с осью (Oy) (ось ординат): (x = 0). * Прямая AB: * С осью Ox: (0 = -2x + 10 \Rightarrow x = 5). Точка: (5; 0). * С осью Oy: (y = -2(0) + 10 \Rightarrow y = 10). Точка: (0; 10). * Прямая BC: * С осью Ox: (0 = \frac{1}{3}x + 3 \Rightarrow x = -9). Точка: (-9; 0). * С осью Oy: (y = \frac{1}{3}(0) + 3 \Rightarrow y = 3). Точка: (0; 3). * Прямая AC: * С осью Ox: (0 = -\frac{1}{2}x - 2 \Rightarrow x = -4). Точка: (-4; 0). * С осью Oy: (y = -\frac{1}{2}(0) - 2 \Rightarrow y = -2). Точка: (0; -2). **б) A(-3; -2), B(1; 6), C(9; -6)** *Шаг 1: Находим уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.* * Прямая AB: $$\frac{y - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{x - (-3)}{1 - (-3)}$$ $$\frac{y + 2}{8} = \frac{x + 3}{4}$$ $$y + 2 = 2(x + 3)$$ $$y = 2x + 6 - 2$$ $$y = 2x + 4$$ * Прямая BC: $$\frac{y - 6}{-6 - 6} = \frac{x - 1}{9 - 1}$$ $$\frac{y - 6}{-12} = \frac{x - 1}{8}$$ $$y - 6 = -\frac{3}{2}(x - 1)$$ $$y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} + 6$$ $$y = -\frac{3}{2}x + \frac{15}{2}$$ * Прямая AC: $$\frac{y - (-2)}{-6 - (-2)} = \frac{x - (-3)}{9 - (-3)}$$ $$\frac{y + 2}{-4} = \frac{x + 3}{12}$$ $$y + 2 = -\frac{1}{3}(x + 3)$$ $$y = -\frac{1}{3}x - 1 - 2$$ $$y = -\frac{1}{3}x - 3$$ *Шаг 2: Находим точки пересечения с осями координат.* * Прямая AB: * С осью Ox: (0 = 2x + 4 \Rightarrow x = -2). Точка: (-2; 0). * С осью Oy: (y = 2(0) + 4 \Rightarrow y = 4). Точка: (0; 4). * Прямая BC: * С осью Ox: (0 = -\frac{3}{2}x + \frac{15}{2} \Rightarrow x = 5). Точка: (5; 0). * С осью Oy: (y = -\frac{3}{2}(0) + \frac{15}{2} \Rightarrow y = \frac{15}{2} = 7.5). Точка: (0; 7.5). * Прямая AC: * С осью Ox: (0 = -\frac{1}{3}x - 3 \Rightarrow x = -9). Точка: (-9; 0). * С осью Oy: (y = -\frac{1}{3}(0) - 3 \Rightarrow y = -3). Точка: (0; -3). **Ответ:** **а)** AB: (5; 0), (0; 10) BC: (-9; 0), (0; 3) AC: (-4; 0), (0; -2) **б)** AB: (-2; 0), (0; 4) BC: (5; 0), (0; 7.5) AC: (-9; 0), (0; -3)