Задание 8: Пусть (a), (b), (c) и (d) – попарно различные натуральные числа, меньшие 10. Известно, что числа (a^2 + 2cd + b^2) и (c^2 - 2ab + d^2) являются точными квадратами. Приведите пример таких (a), (b), (c) и (d).

Решение: Для начала, давайте проанализируем условия задачи. Нам нужно подобрать такие натуральные числа (a), (b), (c), и (d), все они меньше 10 и различны между собой, чтобы выражения (a^2 + 2cd + b^2) и (c^2 - 2ab + d^2) были полными квадратами. Давайте попробуем несколько вариантов, учитывая, что числа должны быть маленькими. Предположим: (a = 1), (b = 2), (c = 3), (d = 4) Тогда: (a^2 + 2cd + b^2 = 1^2 + 2 cdot 3 cdot 4 + 2^2 = 1 + 24 + 4 = 29) (не является полным квадратом) (c^2 - 2ab + d^2 = 3^2 - 2 cdot 1 cdot 2 + 4^2 = 9 - 4 + 16 = 21) (не является полным квадратом) Попробуем другой набор чисел: (a = 1), (b = 4), (c = 6), (d = 8) (a^2 + 2cd + b^2 = 1^2 + 2 cdot 6 cdot 8 + 4^2 = 1 + 96 + 16 = 113) (не является полным квадратом) (c^2 - 2ab + d^2 = 6^2 - 2 cdot 1 cdot 4 + 8^2 = 36 - 8 + 64 = 92) (не является полным квадратом) Попробуем еще один набор: (a = 2), (b = 3), (c = 1), (d = 4) (a^2 + 2cd + b^2 = 2^2 + 2 cdot 1 cdot 4 + 3^2 = 4 + 8 + 9 = 21) (не является полным квадратом) (c^2 - 2ab + d^2 = 1^2 - 2 cdot 2 cdot 3 + 4^2 = 1 - 12 + 16 = 5) (не является полным квадратом) Попробуем (a=1), (b=6), (c=8), (d=3). Тогда: (a^2 + 2cd + b^2 = 1^2 + 2 cdot 8 cdot 3 + 6^2 = 1 + 48 + 36 = 85) (не является полным квадратом) (c^2 - 2ab + d^2 = 8^2 - 2 cdot 1 cdot 6 + 3^2 = 64 - 12 + 9 = 61) (не является полным квадратом) Попробуем (a=2), (b=1), (c=3), (d=6). Тогда: (a^2 + 2cd + b^2 = 2^2 + 2 cdot 3 cdot 6 + 1^2 = 4 + 36 + 1 = 41) (не является полным квадратом) (c^2 - 2ab + d^2 = 3^2 - 2 cdot 2 cdot 1 + 6^2 = 9 - 4 + 36 = 41) (не является полным квадратом) Попробуем (a=1, b=2, c=5, d=7). Тогда: (a^2 + 2cd + b^2 = 1^2 + 2 cdot 5 cdot 7 + 2^2 = 1 + 70 + 4 = 75) (c^2 - 2ab + d^2 = 5^2 - 2 cdot 1 cdot 2 + 7^2 = 25 - 4 + 49 = 70) Попробуем (a = 3, b = 1, c = 4, d = 8): (a^2 + 2cd + b^2 = 3^2 + 2 cdot 4 cdot 8 + 1^2 = 9 + 64 + 1 = 74) (c^2 - 2ab + d^2 = 4^2 - 2 cdot 3 cdot 1 + 8^2 = 16 - 6 + 64 = 74) Попробуем (a = 5, b = 2, c = 1, d = 3): (a^2 + 2cd + b^2 = 5^2 + 2 cdot 1 cdot 3 + 2^2 = 25 + 6 + 4 = 35) (c^2 - 2ab + d^2 = 1^2 - 2 cdot 5 cdot 2 + 3^2 = 1 - 20 + 9 = -10) - не подходит. Давайте рассмотрим следующий набор: (a = 1, b = 8, c = 2, d = 4) (a^2 + 2cd + b^2 = 1^2 + 2 cdot 2 cdot 4 + 8^2 = 1 + 16 + 64 = 81 = 9^2) (c^2 - 2ab + d^2 = 2^2 - 2 cdot 1 cdot 8 + 4^2 = 4 - 16 + 16 = 4 = 2^2) Таким образом, набор (a = 1, b = 8, c = 2, d = 4) удовлетворяет условиям задачи. **Ответ:** (a = 1) (b = 8) (c = 2) (d = 4)