Задание: 31 Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 16√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата: \(R_{опис} = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Отсюда, \(a\sqrt{2} = 2R_{опис} = 2 * 16\sqrt{2} = 32\sqrt{2}\), следовательно, сторона квадрата \(a = 32\). Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата: \(r_{впис} = \frac{a}{2} = \frac{32}{2} = 16\). Ответ: 16