Задание 13: Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $$24\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим задачу 13. **Условие задачи:** Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $$24\sqrt{2}$$. Необходимо найти радиус окружности, вписанной в этот квадрат. **Решение:** 1. **Обозначения:** * Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности. * Пусть $$r$$ - радиус вписанной окружности. * Пусть $$a$$ - сторона квадрата. 2. **Связь между радиусом описанной окружности и стороной квадрата:** Радиус описанной окружности вокруг квадрата равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно найти по формуле $$d = a\sqrt{2}$$. Следовательно, $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$. 3. **Находим сторону квадрата:** Нам известно, что $$R = 24\sqrt{2}$$. Подставим это значение в формулу: $$24\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$. Умножим обе части уравнения на 2: $$48\sqrt{2} = a\sqrt{2}$$. Разделим обе части на $$\sqrt{2}$$: $$a = 48$$. 4. **Связь между радиусом вписанной окружности и стороной квадрата:** Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны квадрата. То есть, $$r = \frac{a}{2}$$. 5. **Находим радиус вписанной окружности:** Мы нашли, что $$a = 48$$. Подставим это значение в формулу для радиуса вписанной окружности: $$r = \frac{48}{2} = 24$$. **Ответ:** Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен **24**. **Развёрнутый ответ для школьника:** Представьте себе квадрат. Вокруг него нарисована окружность (описанная), и внутри него тоже нарисована окружность (вписанная). Нам дан радиус большей окружности (той, что снаружи). Чтобы найти радиус меньшей окружности (той, что внутри), сначала нужно найти сторону квадрата. Большая окружность касается углов квадрата, и её радиус равен половине диагонали квадрата. Зная радиус большой окружности, мы можем найти сторону квадрата. Меньшая окружность касается сторон квадрата, и её радиус равен половине стороны квадрата. Как только мы найдём сторону квадрата, мы сразу же найдём радиус меньшей окружности. Надеюсь, теперь решение стало более понятным!