Задание 3. Расстояние между пристанями А и В равно 120 км. От А к В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка. Прибыв к пристани В, лодка тотчас повернула обратно и возвратилась к пристани А. К этому времени плот проплыл 55 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пусть (v) - скорость лодки в неподвижной воде (км/ч). Скорость течения реки равна 5 км/ч. Плот проплыл 55 км со скоростью течения реки, то есть 5 км/ч. Время, которое плот был в пути: \[t = \frac{55}{5} = 11 \text{ часов}\] Лодка вышла на час позже, значит, лодка была в пути (11 - 1 = 10) часов. Пусть (t_1) - время, которое лодка плыла от А к В (по течению), а (t_2) - время, которое лодка плыла от В к А (против течения). Тогда (t_1 + t_2 = 10). Расстояние от А до В равно 120 км. Скорость лодки по течению: (v + 5), против течения: (v - 5). \[t_1 = \frac{120}{v + 5}\] \[t_2 = \frac{120}{v - 5}\] Составим уравнение: \[\frac{120}{v + 5} + \frac{120}{v - 5} = 10\] Умножим обе части на ((v + 5)(v - 5)): \[120(v - 5) + 120(v + 5) = 10(v^2 - 25)\] Раскроем скобки: \[120v - 600 + 120v + 600 = 10v^2 - 250\] \[240v = 10v^2 - 250\] Разделим обе части на 10: \[24v = v^2 - 25\] \[v^2 - 24v - 25 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-24)^2 - 4(1)(-25) = 576 + 100 = 676\] Корни уравнения: \[v_1 = \frac{24 + \sqrt{676}}{2} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25\] \[v_2 = \frac{24 - \sqrt{676}}{2} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем (v_1 = 25) км/ч. Ответ: 25 км/ч