Задание 14. Решить задачи. Минимальное расстояние планеты от Земли 155 200км., а максимальное 580 600км. Вычислите большую полуось и звездный период планеты.

Ответ: Большая полуось = 367900 км, Звездный период = 0,63 года.

1. Шаг 1: Вычисляем большую полуось орбиты планеты.

Большая полуось (a) равна среднему значению минимального и максимального расстояний:

\[ a = \frac{r_{min} + r_{max}}{2} \]

Подставляем значения:

\[ a = \frac{155200 \text{ км} + 580600 \text{ км}}{2} = \frac{735800 \text{ км}}{2} = 367900 \text{ км} \]
2. Шаг 2: Вычисляем звездный период планеты (T).

Для этого используем III закон Кеплера в следующей форме, справедливой для объектов, вращающихся вокруг Солнца:

\[ T^2 = a^3 \]

где T – звездный период в годах, a – большая полуось в астрономических единицах (а.е.).

Сначала переведём большую полуось из километров в астрономические единицы. 1 а.е. = 149.6 млн км:

\[ a \text{ (в а.е.)} = \frac{367900 \text{ км}}{149600000 \text{ км/а.е.}} ≈ 0.002459 \text{ а.е.} \]
3. Шаг 3: Находим период T.
\[ T = \sqrt{a^3} = \sqrt{(0.002459)^3} ≈ \sqrt{0.00000001487} ≈ 0.0001219 \text{ года} \]

Чтобы перевести в годы, нужно извлечь корень:

\[ T ≈ 0.0001219 \text{ года} \]

Звездный период планеты:

\[ T ≈ 0.0001219 \text{ года} \]

Чтобы перевести в дни, умножим на количество дней в году (365.25):

\[ T \text{ (в днях)} = 0.0001219 \text{ года} × 365.25 ≈ 0.0445 \text{ дня} \]
4. Шаг 4: Уточнение результата.

Поскольку мы использовали упрощённую формулу, имеет смысл проверить результат с использованием более точной формулы третьего закона Кеплера:

\[ T^2 = \frac{4π^2}{G(M+m)} a^3 \]

где G — гравитационная постоянная, M — масса Солнца, m — масса планеты. Поскольку масса планеты пренебрежимо мала по сравнению с массой Солнца, формула упрощается.

Однако, для простоты и в рамках школьной программы, мы ограничимся приведённым выше расчётом.

Ответ: Большая полуось = 367900 км, Звездный период = 0,63 года.