Задание 6: Решите задачу с помощью графа: В нашем классе 5 человек изучает немецкий язык, остальные - английский. На уроке учитель опрашивает каждый урок одновременно 2 учеников (вопрос-ответ). Сколько пар можно составить, чтобы ученики в паре не повторялись?

Решение: 1. Всего учеников в классе неизвестно, поэтому обозначим общее количество учеников как $$x$$. 2. Количество учеников, изучающих английский язык, будет $$x - 5$$. 3. Нам нужно определить, сколько пар учеников можно составить, чтобы они не повторялись. Для этого нужно рассмотреть различные варианты сочетаний учеников: * Пары из учеников, изучающих только немецкий язык. Количество таких пар можно вычислить с помощью формулы сочетаний: $$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$ * Пары из учеников, изучающих только английский язык. Количество таких пар можно вычислить с помощью формулы сочетаний: $$C_{x-5}^2 = \frac{(x-5)!}{2!(x-5-2)!} = \frac{(x-5)!}{2!(x-7)!} = \frac{(x-5)(x-6)}{2}$$ * Пары из учеников, где один изучает немецкий, а другой - английский язык. Количество таких пар можно вычислить как произведение количества учеников, изучающих немецкий и английский: $$5(x-5)$$ 4. Общее количество возможных пар будет суммой всех этих вариантов: $$10 + \frac{(x-5)(x-6)}{2} + 5(x-5)$$ Поскольку мы не знаем общее количество учеников в классе, мы не можем дать точный численный ответ. Однако, мы можем выразить ответ в виде формулы, зависящей от общего количества учеников $$x$$. Чтобы решить задачу графически, мы могли бы представить учеников в виде вершин графа, а пары учеников, которых можно опрашивать вместе, - в виде ребер графа. Но без конкретного значения $$x$$ это невозможно. Если предположить, что в классе всего, например, 10 человек, тогда: $$x = 10$$ Учеников, изучающих английский: $$10 - 5 = 5$$ Пары только из изучающих немецкий: 10 Пары только из изучающих английский: $$\frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$ Пары немецкий - английский: $$5 \cdot 5 = 25$$ Всего пар: $$10 + 10 + 25 = 45$$ **Ответ:** Если в классе всего x учеников, то общее количество возможных пар составит $$10 + \frac{(x-5)(x-6)}{2} + 5(x-5)$$. Если предположить, что в классе 10 человек, то общее количество пар будет 45.