Задание 15. Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найди длину биссектрисы треугольника.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эту задачу вместе. 1. Вспоминаем свойства равностороннего треугольника: В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60 градусам. Биссектриса, проведенная из вершины, является также медианой и высотой. 2. Используем свойство биссектрисы как высоты: Так как биссектриса является высотой, она делит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна стороне равностороннего треугольника, а один из катетов равен половине стороны равностороннего треугольника. Другой катет и есть биссектриса, которую нужно найти. 3. Применяем теорему Пифагора: Пусть ( a ) - сторона равностороннего треугольника, ( h ) - высота (биссектриса). Тогда: ( h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 ) ( h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 ) ( h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} ) ( h^2 = \frac{3a^2}{4} ) ( h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} ) ( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} ) 4. Подставляем известное значение стороны: В нашем случае, ( a = 16\sqrt{3} ). Подставим это значение в формулу: ( h = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} ) ( h = \frac{16 \cdot 3}{2} ) ( h = \frac{48}{2} ) ( h = 24 ) Ответ: Длина биссектрисы треугольника равна 24. Развёрнутый ответ для школьника: В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам, а все стороны равны. Биссектриса, проведенная из любого угла, делит этот угол пополам (на два угла по 30 градусов) и одновременно является высотой и медианой. Это означает, что она падает на противоположную сторону под прямым углом и делит эту сторону пополам. Чтобы найти длину биссектрисы, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в одном из двух прямоугольных треугольников, которые образовались после проведения биссектрисы. Мы знаем, что сторона равностороннего треугольника равна (16\sqrt{3}). Значит, половина этой стороны (катет прямоугольного треугольника) равна (8\sqrt{3}). Используя теорему Пифагора, мы можем найти второй катет (биссектрису): ( h = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 24). Таким образом, длина биссектрисы равна 24.