Задание 8. Стороны AC и BC треугольника ABC равны. Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 54°. Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.

Дано: \(AC = BC\) \(CM\) - биссектриса внешнего угла \(BCD\) \(\angle MCD = 54^\circ\) Найти: \(\angle BAC\) Решение: 1. Т.к. \(CM\) - биссектриса угла \(BCD\), то \(\angle BCD = 2 \cdot \angle MCD = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ\). 2. \(\angle BCA\) и \(\angle BCD\) - смежные, значит, их сумма равна 180°. Тогда \(\angle BCA = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\). 3. Т.к. \(AC = BC\), то треугольник \(ABC\) - равнобедренный, а значит углы при основании равны: \(\angle BAC = \angle ABC\). 4. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, \(\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ\). Заменим \(\angle ABC\) на \(\angle BAC\), получим \(2 \cdot \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ\). 5. Выразим \(\angle BAC\): \(\angle BAC = \frac{180^\circ - \angle BCA}{2} = \frac{180^\circ - 72^\circ}{2} = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ\). Ответ: 54