ЗАДАНИЕ 15: Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найдите знаменатель этой прогрессии. Если получено несколько значений, в ответ запишите большее.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b$$, а знаменатель равен $$q$$. Тогда первые три члена прогрессии: $$b, bq, bq^2$$. По условию задачи имеем систему уравнений: $$\begin{cases}b + bq + bq^2 = 21 \ b^2 + b^2q^2 + b^2q^4 = 189\end{cases}$$ Выразим $$b$$ из первого уравнения: $$b(1 + q + q^2) = 21$$, следовательно $$b = \frac{21}{1 + q + q^2}$$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$\left(\frac{21}{1 + q + q^2}\right)^2 + \left(\frac{21}{1 + q + q^2}\right)^2 q^2 + \left(\frac{21}{1 + q + q^2}\right)^2 q^4 = 189$$ $$\frac{21^2}{(1 + q + q^2)^2}(1 + q^2 + q^4) = 189$$ $$\frac{441}{(1 + q + q^2)^2}(1 + q^2 + q^4) = 189$$ $$\frac{1 + q^2 + q^4}{(1 + q + q^2)^2} = \frac{189}{441} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$$ Умножим обе части на $$(1 + q + q^2)^2$$: $$1 + q^2 + q^4 = \frac{3}{7}(1 + 2q + 3q^2 + 2q^3 + q^4)$$ $$7 + 7q^2 + 7q^4 = 3 + 6q + 9q^2 + 6q^3 + 3q^4$$ $$4q^4 - 6q^3 - 2q^2 - 6q + 4 = 0$$ $$2q^4 - 3q^3 - q^2 - 3q + 2 = 0$$ Разделим обе части уравнения на $$q^2$$: $$2q^2 - 3q - 1 - \frac{3}{q} + \frac{2}{q^2} = 0$$ $$2(q^2 + \frac{1}{q^2}) - 3(q + \frac{1}{q}) - 1 = 0$$ Пусть $$t = q + \frac{1}{q}$$. Тогда $$t^2 = q^2 + 2 + \frac{1}{q^2}$$, и $$q^2 + \frac{1}{q^2} = t^2 - 2$$. $$2(t^2 - 2) - 3t - 1 = 0$$ $$2t^2 - 4 - 3t - 1 = 0$$ $$2t^2 - 3t - 5 = 0$$ $$D = (-3)^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49$$ $$t_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$ $$t_2 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ Вернёмся к переменной $$q$$: 1) $$q + \frac{1}{q} = \frac{5}{2}$$ $$2q^2 + 2 = 5q$$ $$2q^2 - 5q + 2 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$$ $$q_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ $$q_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ 2) $$q + \frac{1}{q} = -1$$ $$q^2 + 1 = -q$$ $$q^2 + q + 1 = 0$$ $$D = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$$, следовательно, нет вещественных корней. Итак, возможные значения для $$q$$: $$2$$ и $$\frac{1}{2}$$. Большее из них - $$2$$. **Ответ: 2**