Задание 8. Тренинг В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 8 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 15, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в четыре раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть x - количество мышек, пришедших в первую ночь. Пусть y - количество сыра, съеденное одной мышкой в первую ночь. Тогда, согласно условию, имеем: \[x \cdot y = 8\] Во вторую ночь пришло 15 мышек, и каждая съела в 4 раза меньше сыра, чем в первую ночь, то есть \(\frac{y}{4}\). Пусть z - общее количество сыра, которое было изначально в погребе. Тогда, количество сыра, которое съели 15 мышек во вторую ночь, равно \(z - 8\). Получаем уравнение: \[15 \cdot \frac{y}{4} = z - 8\] Выразим y из первого уравнения: \(y = \frac{8}{x}\). Подставим это во второе уравнение: \[15 \cdot \frac{8}{4x} = z - 8\] \[\frac{30}{x} = z - 8\] \[z = \frac{30}{x} + 8\] Так как x и z должны быть целыми числами (количество мышек и головок сыра), то x должно быть делителем числа 30. Возможные значения для x: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Если \(x = 1\), то \(z = 30 + 8 = 38\). Если \(x = 2\), то \(z = 15 + 8 = 23\). Если \(x = 3\), то \(z = 10 + 8 = 18\). Если \(x = 5\), то \(z = 6 + 8 = 14\). Если \(x = 6\), то \(z = 5 + 8 = 13\). Если \(x = 10\), то \(z = 3 + 8 = 11\). Если \(x = 15\), то \(z = 2 + 8 = 10\). Если \(x = 30\), то \(z = 1 + 8 = 9\). Так как во вторую ночь мышки доели оставшийся сыр, то \(z - 8 > 0\), что выполняется для всех найденных значений z. Однако, по условию, в первую ночь мышки съели 8 головок сыра. Значит, изначально сыра должно было быть больше 8 головок, то есть \(z > 8\). Все найденные значения z удовлетворяют этому условию. Так как сказано, что во вторую ночь пришли не все мышки, значит \(x > 15\), откуда следует, что \(x = 30\), а значит, \(z = 9\). Проверим: В первую ночь пришло 30 мышек, и они съели 8 головок сыра. Каждая мышка съела \(\frac{8}{30} = \frac{4}{15}\) головки сыра. Во вторую ночь пришло 15 мышек, и они съели \(9 - 8 = 1\) головку сыра. Каждая мышка съела \(\frac{1}{15}\) головки сыра. Сравним: \(\frac{4}{15}\) в 4 раза больше, чем \(\frac{1}{15}\), что соответствует условию задачи. Таким образом, в погребе хранилось 9 головок сыра. Ответ: 9