Задание 3. У Васи есть 3 монеты: обычная, с двумя орлами на обоих сторонах, и с двумя решками на обоих сторонах. Он берёт одну монету наугад и подбрасывает её. Вероятность, что выпадет орёл, равна 2/3. Какая монета была выбрана?

Пусть A - монета с двумя орлами, B - обычная монета, C - монета с двумя решками. Вероятность выпадения орла для каждой монеты: - P(орел | A) = 1 - P(орел | B) = 1/2 - P(орел | C) = 0 Вероятность выбора каждой монеты равна 1/3. Общая вероятность выпадения орла равна: P(орел) = P(орел | A) * P(A) + P(орел | B) * P(B) + P(орел | C) * P(C) P(орел) = 1 * (1/3) + (1/2) * (1/3) + 0 * (1/3) = 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 Но по условию, вероятность выпадения орла равна 2/3. Значит, была выбрана монета A или B. Если предположить, что монета с двумя орлами была выбрана, то вероятность выпадения орла была бы 1. Так как вероятность выпадения орла 2/3, значит монета с двумя орлами не была выбрана. Допустим, что обычная монета не была выбрана, тогда у нас остается монета с двумя орлами и монета с двумя решками. Вероятность выбора монеты с двумя орлами = 1/2, тогда вероятность выпадения орла = 1. Вероятность выбора монеты с двумя решками = 1/2, тогда вероятность выпадения орла = 0. Тогда общая вероятность выпадения орла = 1/2 * 1 + 1/2 * 0 = 1/2, что не равно 2/3. Пусть монета с двумя решками не была выбрана, тогда у нас остается обычная монета и монета с двумя орлами. Вероятность выбора обычной монеты = 1/2, тогда вероятность выпадения орла = 1/2. Вероятность выбора монеты с двумя орлами = 1/2, тогда вероятность выпадения орла = 1. Тогда общая вероятность выпадения орла = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1 = 1/4 + 1/2 = 1/4 + 2/4 = 3/4, что не равно 2/3. Предположим, что была выбрана монета с двумя орлами с вероятностью x, обычная монета с вероятностью y, и монета с двумя решками с вероятностью z. Тогда x + y + z = 1. Вероятность выпадения орла равна x * 1 + y * 1/2 + z * 0 = x + y/2 = 2/3. Из этого следует, что x = 2/3 - y/2. Подставляем в уравнение x + y + z = 1: 2/3 - y/2 + y + z = 1. Тогда y/2 + z = 1/3, z = 1/3 - y/2. Т.к. монета была выбрана наугад, вероятность выбора любой монеты должна быть одинаковой, т.е. x = y = z = 1/3. Но это не соответствует условию x + y/2 = 2/3. Пусть была выбрана обычная монета. Тогда вероятность выпадения орла 1/2, что не равно 2/3. Значит была выбрана не обычная монета. Пусть была выбрана монета с двумя решками. Тогда вероятность выпадения орла 0, что не равно 2/3. Значит была выбрана не монета с двумя решками. Ответ: Обычная монета и монета с двумя орлами.