Задание 4. Углы треугольника АВС относятся так: ∠A:∠B:∠C = 1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС, равна 16. Найдите длину отрезка МС.

Пусть углы треугольника ABC равны $$x$$, $$2x$$ и $$3x$$. Сумма углов треугольника равна 180 градусам:

$$x + 2x + 3x = 180$$

$$6x = 180$$

$$x = 30$$

Значит, углы треугольника:

$$A = 30^{\circ}$$, $$B = 60^{\circ}$$, $$C = 90^{\circ}$$

Треугольник ABC – прямоугольный с углом C = 90 градусов. BM – биссектриса угла B, поэтому угол ABM равен углу CBM и равен $$60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$$.

Рассмотрим треугольник ABM. В этом треугольнике угол A = 30 градусов и угол ABM = 30 градусов. Следовательно, треугольник ABM – равнобедренный, и AM = BM = 16.

Так как AM + MC = AC, то MC = AC - AM.

В прямоугольном треугольнике ABC:

$$tg(A) = \frac{BC}{AC}$$

$$tg(30^{\circ}) = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$sin(A) = \frac{BC}{AB}$$

$$cos(A) = \frac{AC}{AB}$$

$$sin(60^{\circ}) = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$AC = AB * \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Но нам нужно найти MC. Рассмотрим прямоугольный треугольник BMC. В нём угол C = 90 градусов, угол MBC = 30 градусов, и BM = 16.

$$sin(MBC) = \frac{MC}{BM}$$

$$sin(30^{\circ}) = \frac{MC}{16}$$

$$MC = 16 * sin(30^{\circ}) = 16 * \frac{1}{2} = 8$$