Решение задания 3

a) Выражение 1/(x-(1/x)) определено, если знаменатель не равен нулю, то есть x-(1/x) ≠ 0 и x ≠ 0. Решим уравнение x - 1/x = 0. Приведем к общему знаменателю: (x^2 - 1)/x = 0. Это выполняется, когда x^2 - 1 = 0, то есть x^2 = 1. Значит, x = 1 или x = -1. Таким образом, допустимые значения x: x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ -1.

б) Выражение (y-3)/(|y|-5) определено, если знаменатель не равен нулю, то есть |y|-5 ≠ 0. Это означает, что |y| ≠ 5. Следовательно, y ≠ 5 и y ≠ -5. Таким образом, допустимые значения y: y ≠ 5, y ≠ -5.

в) Выражение 3/(x^2-5xy-6y^2) определено, если знаменатель не равен нулю, то есть x^2-5xy-6y^2 ≠ 0. Разложим знаменатель на множители. Рассмотрим квадратный трехчлен относительно x: x^2 - 5yx - 6y^2 = 0. Найдем дискриминант: D = (5y)^2 - 4(1)(-6y^2) = 25y^2 + 24y^2 = 49y^2. Тогда x1 = (5y + 7|y|)/2, x2 = (5y - 7|y|)/2. Если y > 0, то |y| = y, и x1 = (5y + 7y)/2 = 6y, x2 = (5y - 7y)/2 = -y. Если y < 0, то |y| = -y, и x1 = (5y - 7y)/2 = -y, x2 = (5y + 7y)/2 = 6y. Таким образом, x^2 - 5xy - 6y^2 = (x - 6y)(x + y). Значит, (x - 6y)(x + y) ≠ 0, то есть x ≠ 6y и x ≠ -y.

Ответ:

1. a) x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ -1
2. б) y ≠ 5, y ≠ -5
3. в) x ≠ 6y, x ≠ -y