Задание 8. В доме всего пятнадцать квартир с номерами от 1 до 15. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах с 1-й по 9-ю включительно живёт суммарно 10 человек, а в квартирах с 7-й по 15-ю включительно живёт суммарно 22 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Решение: 1. Обозначим количество людей, живущих в квартирах с 1 по 9, как (S_1). Из условия известно, что (S_1 = 10) человек. 2. Обозначим количество людей, живущих в квартирах с 7 по 15, как (S_2). Из условия известно, что (S_2 = 22) человека. 3. Обозначим количество людей, живущих в квартирах с 1 по 6, как (S_{1-6}). 4. Обозначим количество людей, живущих в квартирах с 7 по 9, как (S_{7-9}). 5. Обозначим количество людей, живущих в квартирах с 10 по 15, как (S_{10-15}). Тогда: \[S_1 = S_{1-6} + S_{7-9} = 10\] \[S_2 = S_{7-9} + S_{10-15} = 22\] Нужно найти общее количество людей, живущих в доме, которое равно сумме людей, живущих в квартирах с 1 по 6, с 7 по 9 и с 10 по 15, то есть (S = S_{1-6} + S_{7-9} + S_{10-15}). Мы знаем, что (S_1 + S_2 = (S_{1-6} + S_{7-9}) + (S_{7-9} + S_{10-15}) = S_{1-6} + 2 cdot S_{7-9} + S_{10-15} = 10 + 22 = 32). Выразим (S) через (S_1) и (S_2): \[S = S_{1-6} + S_{7-9} + S_{10-15} = (S_{1-6} + 2 cdot S_{7-9} + S_{10-15}) - S_{7-9} = 32 - S_{7-9}\] Так как в каждой квартире живёт не менее 1 и не более 3 человек, то в квартирах с 7 по 9 живёт от 3 до 9 человек (3 квартиры * 1-3 человека). Чтобы найти (S_{7-9}), заметим, что (S_{1-6} = 10 - S_{7-9}) и (S_{10-15} = 22 - S_{7-9}). Так как в каждой квартире живёт не менее 1 человека, то (S_{1-6} ge 6) и (S_{10-15} ge 6). Отсюда: \[10 - S_{7-9} ge 6 Rightarrow S_{7-9} le 4\] \[22 - S_{7-9} ge 6 Rightarrow S_{7-9} le 16\] Учитывая, что (S_{7-9}) должно быть не больше 4, получаем, что (S_{7-9} le 4). Также в каждой квартире живет не более 3 человек, значит (S_{7-9} le 3 cdot 3 = 9). Поэтому (S_{7-9}) лежит в пределах от 3 до 4. Если (S_{7-9} = 3), то (S_{1-6} = 10 - 3 = 7), (S_{10-15} = 22 - 3 = 19), (S = 7 + 3 + 19 = 29). Если (S_{7-9} = 4), то (S_{1-6} = 10 - 4 = 6), (S_{10-15} = 22 - 4 = 18), (S = 6 + 4 + 18 = 28). Проверим, может ли быть (S_{7-9} = 3). В этом случае (S_{10-15} = 19). Поскольку у нас 6 квартир (с 10 по 15), то максимум в них может жить (6 cdot 3 = 18) человек. Значит, (S_{7-9}) не может быть равно 3. Следовательно, (S_{7-9} = 4), (S_{1-6} = 6), (S_{10-15} = 18), и (S = 6 + 4 + 18 = 28). Ответ: 28