Задание 10: В группе учится 25 студентов, из них 15 человек сдали зачёт по экономике и 15 сдали зачёт по английскому языку. Выберите верные утверждения.

В группе 25 студентов. 15 сдали экономику, 15 сдали английский. Проверим утверждения: 1) Меньше 16 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. Пусть x - количество студентов, сдавших оба зачёта. Тогда количество сдавших хотя бы один зачёт равно: 15 (экономика) + 15 (английский) - x (чтобы не считать дважды тех, кто сдал оба). Это количество не больше 25 (общее количество студентов): 15 + 15 - x \le 25, значит, 30 - x \le 25, x \ge 5. Значит, как минимум 5 студентов сдали оба зачёта. Максимальное количество сдавших оба зачёта - когда все сдавшие английский сдали и экономику, или наоборот. Это 15. Тогда, от 5 до 15 человек сдали оба зачёта. Это означает, что меньше 16 студентов могли сдать оба зачета. Утверждение 1 верно. 2) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. Максимальное количество студентов, сдавших хотя бы один зачёт: 25 (все студенты). Минимальное количество сдавших хотя бы один зачёт: 15 (все сдавшие экономику) + 0 = 15. Тогда, количество не сдавших ни одного зачёта: 25 (все) - количество сдавших хотя бы один. Максимальное количество не сдавших ни одного: 25 - 5 = 20, минимальное: 25 - 15 = 10. Значит, как минимум 10 не сдали ни один. В группе найдется как минимум 10 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов, но не обязательно 11. Утверждение 2 не обязательно верно. 3) В этой группе найдётся 15 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике. 15 человек сдали экономику. Минимум 5 сдали оба предмета (экономику и английский). Значит максимум 15 - 5 = 10 человек сдали только экономику и не сдали английский. Значит, не обязательно найдется 15 студентов. Утверждение 3 не обязательно верно. 4) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. Как мы выяснили выше, минимум 5 студентов сдали оба зачёта. Значит, это утверждение верно. Ответ: 14