Задание 15: В некоторой школе ровно 54% учащихся параллели 6-х классов - мальчики. Какое наибольшее число девочек может быть среди учащихся 6-х классов, если известно, что число всех шестиклассников этой школы не превосходит 180?

Решение: Пусть общее количество шестиклассников равно $$N$$. Тогда количество мальчиков составляет $$0.54N$$, а количество девочек $$0.46N$$. Мы хотим найти наибольшее целое число девочек при условии, что $$N \le 180$$. Так как количество мальчиков и девочек должно быть целым числом, то $$0.54N$$ и $$0.46N$$ должны быть целыми числами. Это означает, что $$N$$ должно быть таким, чтобы при умножении на 0.54 и 0.46 получались целые числа. Давайте рассмотрим несколько вариантов для $$N$$: Если $$N = 100$$, то мальчиков $$54$$, девочек $$46$$. Но $$N$$ может быть больше. Чтобы избежать десятичных дробей, $$N$$ должно быть кратно 50 или 100. Проверим, является ли $$N$$ кратным 50 или 25. Допустим, $$N=50$$. Мальчиков: $$50 * 0.54 = 27$$, девочек: $$50 * 0.46 = 23$$. Подходит. Допустим, $$N=100$$. Мальчиков: $$100 * 0.54 = 54$$, девочек: $$100 * 0.46 = 46$$. Подходит. Допустим, $$N=150$$. Мальчиков: $$150 * 0.54 = 81$$, девочек: $$150 * 0.46 = 69$$. Подходит. Попробуем максимальное значение $$N$$ близкое к 180. Так как 0.54 и 0.46 можно представить как дроби $$\frac{54}{100}$$ и $$\frac{46}{100}$$ или $$\frac{27}{50}$$ и $$\frac{23}{50}$$ соответственно, то $$N$$ должно быть кратно 50. Возьмем $$N = 150$$. Тогда число девочек $$150 * 0.46 = 69$$. Если мы возьмем $$N = 175$$, то число мальчиков $$175 * 0.54 = 94.5$$ (не подходит, должно быть целым). Если мы возьмем $$N = 170$$, то $$0.54 * 170 = 91.8$$ (не подходит, должно быть целым). Рассмотрим вариант, когда количество учеников в классе должно делится на 100, чтобы получить целое число. Это не подходит, нужно искать целые значения в районе 180. Так как $$0.54 = \frac{27}{50}$$ и $$0.46 = \frac{23}{50}$$, то общее число шестиклассников должно делиться на 50. Пусть число шестиклассников $$N = 50k$$, где $$k$$ - целое число. Так как $$N \le 180$$, то $$50k \le 180$$. Наибольшее целое $$k = 3$$. Следовательно, максимальное $$N = 50 * 3 = 150$$. Тогда число девочек $$0.46 * 150 = 69$$. Однако, стоит поискать число чуть больше 150, например 175: $$175 * 0.54 = 94.5$$ - не целое. $$170 * 0.54 = 91.8$$ - не целое. $$165 * 0.54 = 89.1$$ - не целое. Так как $$0.54 = 27/50$$ и $$0.46 = 23/50$$, то количество учеников должно делится на 50. Максимальное число шестиклассников, не превосходящее 180 и делящееся на 50, это 150. Тогда число девочек: $$150 * 0.46 = 69$$. Ответ: 69