Задание 7. В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 7, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть x - количество мышей, пришедших в первую ночь. Пусть y - количество сыра, которое съела каждая мышь в первую ночь. Тогда: 1. x * y = 9 (все мыши съели 9 головок сыра). 2. Во вторую ночь пришло 7 мышей, и каждая съела y/3 сыра. Пусть z - количество сыра, которое осталось после первой ночи. Тогда общее количество сыра в погребе было 9 + z. Вторая ночь: 7 * (y/3) = z (7 мышей съели оставшийся сыр, где каждая съела в три раза меньше, чем накануне). Выразим y из первого уравнения: y = 9/x. Подставим во второе уравнение: 7 * ((9/x)/3) = z 7 * (3/x) = z 21/x = z Общее количество сыра: 9 + z = 9 + 21/x. Поскольку x и z должны быть целыми числами (количество мышей и головок сыра), и x должно быть делителем числа 9 (потому что x * y = 9), возможные значения для x это 1, 3 или 9. Если x = 1, то y = 9 и z = 21. Общее количество сыра: 9 + 21 = 30. Если x = 3, то y = 3 и z = 7. Общее количество сыра: 9 + 7 = 16. Если x = 9, то y = 1 и z = 21/9 = 7/3. z не целое, следовательно, этот вариант не подходит. Теперь нужно проверить, какой из вариантов подходит под условие, что после первой ночи остался сыр, который могли доесть 7 мышей, съев в три раза меньше, чем накануне. Если всего было 30 головок сыра, тогда после первой ночи осталось 21. 7 мышей съели по 9/3 = 3 головки сыра каждая. 7 * 3 = 21. Этот вариант подходит. Если всего было 16 головок сыра, тогда после первой ночи осталось 7. 7 мышей съели по 3/3 = 1 головке сыра каждая. 7 * 1 = 7. Этот вариант тоже подходит. Так как в условии сказано, что "следующей ночью пришли не все мышки", значит, мышки были, и их было больше 7. Это значит, что x = 9, но это решение не подходит, так как z не целое. Однако, если в первую ночь пришли все мышки, а во вторую только 7, тогда x > 7, следовательно, x = 9. Но тогда количество сыра, которое осталось, не может быть разделено между 7 мышками, которые едят в три раза меньше. Рассмотрим вариант с 16 головками сыра. В первую ночь пришли 9 мышей и съели поровну 9 головок сыра. То есть, каждая мышь съела 1 головку сыра. На вторую ночь пришли 7 мышей и съели остаток сыра. Остаток сыра равен 16 - 9 = 7. Каждая мышь во вторую ночь съела в три раза меньше, чем накануне, то есть 1/3 головки сыра. Таким образом, 7 мышей съели 7*(1/3) = 7/3 головки сыра. Но это не равно 7, значит 16 не подходит. Рассмотрим вариант с 30 головками сыра. В первую ночь пришли 9 мышей и съели 9 головок, то есть каждая мышь съела 1 головку. Осталось 30 - 9 = 21 головка. Во вторую ночь пришли 7 мышей и съели 21 головку, то есть каждая мышь съела 3 головки. Но по условию каждая мышь должна съесть в три раза меньше, чем накануне. Если накануне мышь ела 1 головку, то теперь должна есть 1/3. Противоречие. Так как 9 головок сыра съели поровну, значит, кол-во мышей должно быть делителем 9, то есть 1, 3 или 9. Но если пришла 1 мышь и съела 9 головок, тогда 7 мышей никак не могли доесть остаток в три раза меньше. Если пришли 3 мыши, то каждая съела по 3 головки. Если пришли 9 мышей, то каждая съела по 1 головке. Допустим, в первую ночь сыр съели 9 мышей, каждая по 1 головке. Осталось Z сыра. Во вторую ночь пришли 7 мышей и съели в 3 раза меньше (то есть 1/3) оставшиеся Z головок. Z = 7 * 1/3 = 7/3. Итого, изначально было 9 + 7/3 = 34/3, что не целое число. Допустим, в первую ночь сыр съели 3 мыши, каждая по 3 головки. Осталось Z сыра. Во вторую ночь пришли 7 мышей и съели в 3 раза меньше (то есть 1 головку) оставшиеся Z головок. Z = 7 * 1 = 7. Итого, изначально было 9 + 7 = 16. Значит, в погребе хранилось 16 головок сыра.