Задание 12. В ромбе ABCD диагональ AC = 10, сторона AB = \(\sqrt{41}\). Найдите тангенс угла BAC.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$ с диагональю $$AC = 10$$ и стороной $$AB = \sqrt{41}$$. Нам нужно найти тангенс угла $$BAC$$.

1. Так как $$ABCD$$ - ромб, то $$AB = BC = CD = DA = \sqrt{41}$$.
2. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Он равнобедренный, так как $$AB = BC$$.
3. Пусть $$O$$ - точка пересечения диагоналей $$AC$$ и $$BD$$. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам. Значит, $$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$$.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. В нём $$AB = \sqrt{41}$$ и $$AO = 5$$. По теореме Пифагора найдём $$BO$$:

$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{(\sqrt{41})^2 - 5^2} = \sqrt{41 - 25} = \sqrt{16} = 4$$.

5. Теперь найдём тангенс угла $$BAO$$ (или $$BAC$$). В прямоугольном треугольнике $$AOB$$:

$$tan(\angle BAO) = \frac{BO}{AO} = \frac{4}{5} = 0.8$$

Ответ: 0.8