Задание 3. В шар радиуса R вписана правильная четырёхугольная пирамида, основание которой делит перпендикулярный ему радиус пополам. Определить поверхность шара, вписанного в пирамиду.

1) Пусть радиус шара R, тогда высота пирамиды равна:

$$ h = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$$

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали основания пирамиды (a), высотой пирамиды (h) и боковым ребром пирамиды (l). По теореме Пифагора:

$$ l^2 = a^2 + h^2$$

3) Так как основание пирамиды делит перпендикулярный радиус пополам, то центр шара находится на расстоянии R/2 от основания пирамиды.

4) Радиус шара, вписанного в пирамиду, можно найти по формуле:

$$ r = \frac{V}{p}$$

где V - объем пирамиды, p - полупериметр основания пирамиды.

5) Объем пирамиды равен:

$$ V = \frac{1}{3}S_{осн}h = \frac{1}{3}a^2h$$

6) Полупериметр основания пирамиды равен:

$$ p = \frac{4a}{2} = 2a$$

7) Радиус шара, вписанного в пирамиду равен:

$$ r = \frac{V}{p} = \frac{\frac{1}{3}a^2h}{2a} = \frac{ah}{6} = \frac{a \cdot \frac{3R}{2}}{6} = \frac{aR}{4}$$

8) Поверхность шара, вписанного в пирамиду, равна:

$$ S = 4\pi r^2 = 4\pi (\frac{aR}{4})^2 = \frac{\pi a^2R^2}{4} $$

Ответ: $$\frac{\pi a^2R^2}{4}$$