Задание 4. В треугольнике ABC угол ABC равен 120°, AB = BC, BM – медиана. На луче BM отметили точку F такую, что ∠BAF = 90°. Найдите FM, если АВ = 30.

Решение: 1. Так как AB = BC, треугольник ABC является равнобедренным. BM – медиана, проведенная к основанию AC, следовательно, она также является биссектрисой и высотой. 2. Угол ABM равен половине угла ABC, то есть: \[\angle ABM = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\] 3. Треугольник ABM прямоугольный (так как BM - высота). Рассмотрим треугольник ABF: по условию угол BAF = 90°, угол ABF = 60°. Тогда угол AFB = 180° - (90° + 60°) = 30°. 4. В прямоугольном треугольнике ABM катет AM лежит против угла 30°, следовательно, AM = 1/2 * AB = 1/2 * 30 = 15. 5. В прямоугольном треугольнике ABF, против угла 30° лежит BF, значит BF = 1/2 * AB = 1/2 * 30 = 15. 6. Так как BM - медиана, то AM = MC. 7. Рассмотрим треугольник BFA. Угол BAF = 90 градусов, AB = 30. Следовательно, BF = 15. 8. Так как BM – медиана и высота в равнобедренном треугольнике ABC, точка M является серединой AC. Тогда AM = MC. 9. Поскольку ∠BAF = 90°, треугольник BAF — прямоугольный. В прямоугольном треугольнике BAF, ∠AFB = 180° − ∠BAF − ∠ABF = 180° − 90° − 60° = 30°. 10. В прямоугольном треугольнике ABF катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, BF = AB / 2 = 30 / 2 = 15. 11. Так как BM является частью луча BF, FM = BF - BM. BM является катетом в прямоугольном треугольнике ABM, лежащим против угла 60°, поэтому BM = AB * cos(60°) = 30 * (√3 / 2) = 15√3. 12. FM = BF - BM = 15√3 - 15 Ответ: 15