Задание 25: В треугольнике MNK известны длины сторон MN = 5, MK = 10, точка O – центр окружности, описанной около треугольника MNK. Прямая NP, перпендикулярная прямой MO, пересекает сторону MK в точке P. Найди KP.

Для решения задачи нам потребуется применить несколько теорем и свойств геометрии. 1. **Понимание задачи**: - У нас есть треугольник MNK, описанный около окружности с центром O. - MN = 5, MK = 10. - NP перпендикулярна MO и пересекает MK в точке P. - Нужно найти длину KP. 2. **Основные теоремы и свойства**: - Теорема о секущей и касательной. - Свойства описанной окружности и центра. - Теорема о пропорциональных отрезках. 3. **Решение**: - Так как NP перпендикулярна MO, а O – центр описанной окружности, то MO является серединным перпендикуляром к хорде NK. - Пусть MO пересекает NK в точке Q. Тогда NQ = QK. - Обозначим KP за x. Тогда MP = MK - KP = 10 - x. - Рассмотрим треугольник MNP. Так как угол NPO прямой (NP перпендикулярна MO), можно применить теорему Пифагора, но нам не хватает данных. - По свойству секущих и касательных, если из точки M провести касательную к окружности (пусть это будет точка T), то MT^2 = MP * MK. - Однако у нас нет касательной, но есть перпендикуляр NP. - Заметим, что треугольники MNP и треугольник, образованный касательной MT и хордой, могут быть подобны, но это не очевидно. - Вместо этого, рассмотрим другой подход. - Введем понятие степени точки P относительно окружности: \(P(M)\) = MP * PK = \(R^2 - OP^2\), где R - радиус окружности. - Выразим MP = 10 - x. Тогда \(P(M)\) = (10 - x) * x. - Далее, для нахождения \(P(M)\) нам необходимо найти радиус описанной окружности и OP. - Радиус описанной окружности можно найти по формуле \(R = \frac{abc}{4S}\), где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника. - Площадь треугольника можно выразить через полупериметр p и радиус вписанной окружности r: \(S = pr\). - Но у нас нет всех данных для прямого применения этих формул. 4. **Альтернативный подход**: - Рассмотрим подобие треугольников. Так как NP перпендикулярна MO, то \(\angle\)NPM = 90°. - Если \(\angle\)MKN = \(\alpha\), то \(\angle\)MNK = 180° - \(\alpha\) - \(\angle\)NMK. - Заметим, что \(\angle\)NMO = \(\angle\)KMO, поскольку MO – серединный перпендикуляр к NK. - Тогда \(\angle\)NMP = 90° - \(\angle\)NMO. - Если точка O – центр описанной окружности, то углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, \(\angle\)MNO = \(\angle\)MKO. - Пусть KP = x, тогда MP = 10 - x. - Рассмотрим треугольники MNP и MKO. - \(\frac{MN}{MP} = \frac{MK}{x}\) , следовательно, \(\frac{5}{10-x} = \frac{10}{x}\). - \(5x = 10(10 - x)\) - \(5x = 100 - 10x\) - \(15x = 100\) - \(x = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}\) 5. **Ответ**: - KP = \(\frac{20}{3}\) ≈ 6.67 **Развернутый ответ для школьника:** Чтобы решить эту задачу, нужно вспомнить несколько важных вещей из геометрии: 1. Если у тебя есть треугольник, описанный вокруг окружности, то центр этой окружности (точка O) обладает особыми свойствами. Например, прямая, проведенная из центра окружности к середине стороны, перпендикулярна этой стороне. 2. Когда прямая (NP) перпендикулярна другой прямой (MO), это означает, что угол между ними равен 90 градусам. 3. Подобие треугольников помогает находить неизвестные стороны. Если два треугольника похожи, их стороны пропорциональны. В нашем случае, мы предположили, что треугольники MNP и MKO чем-то похожи и смогли составить пропорцию. Решив ее, мы нашли, что KP = 20/3. Итоговый ответ: KP = 20/3 или примерно 6.67.