Задание 1 (35 баллов). Дана правильная шестиугольная пирамида, длина стороны основания которой равна 12 см. Угол между плоскостями основания и боковой поверхности равен 60°.

Задание 1: Правильная шестиугольная пирамида

Дано:

• Пирамида правильная шестиугольная.
• Сторона основания (a) = 12 см.
• Угол между плоскостями основания и боковой поверхности (двугранный угол) = 60°.

Найти:

• а) Площадь основания (S_осн)
• б) Площадь одной боковой грани (S_{бок. грани})
• в) Площадь полной поверхности (S_полн)

1. Площадь основания (S_осн)

• Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников.
• Площадь одного такого треугольника: S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
• Площадь шестиугольника: S_{\text{осн}} = 6 \times S_{\triangle} = 6 \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}
• Подставляем значение a = 12 см:
• S_{\text{осн}} = \frac{3 \times (12 \text{ см})^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \times 144 \text{ см}^2 \sqrt{3}}{2} = 3 \times 72 \text{ см}^2 \sqrt{3} = 216 \sqrt{3} \text{ см}^2

Ответ:

• а) Площадь основания пирамиды равна 216\sqrt{3} \text{ см}^2 (10 баллов).

2. Площадь одной боковой грани (S_{бок. грани})

• Боковые грани правильной пирамиды - это равные равнобедренные треугольники.
• Для нахождения площади грани нам понадобится её высота - апофема (h_a).
• Угол между плоскостями основания и боковой грани - это угол между апофемой и радиусом вписанной окружности основания (r_вп).
• В правильном шестиугольнике радиус вписанной окружности равен высоте равностороннего треугольника основания:
• r_{\text{вп}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \text{ см} \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \text{ см}
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой (h_a), радиусом вписанной окружности (r_вп) и боковым ребром (b) как гипотенузой. Угол между r_вп и h_a равен 60°.
• \tan(60^\circ) = \frac{h_a}{r_{\text{вп}}}}
• h_a = r_{\text{вп}} \times \tan(60^\circ) = 6 \sqrt{3} \text{ см} \times \sqrt{3} = 6 \times 3 \text{ см} = 18 \text{ см}
• Площадь одной боковой грани:
• S_{\text{бок. грани}} = \frac{1}{2} \times a \times h_a = \frac{1}{2} \times 12 \text{ см} \times 18 \text{ см} = 6 \text{ см} \times 18 \text{ см} = 108 \text{ см}^2

Ответ:

• б) Площадь одной боковой грани пирамиды равна 108 \text{ см}^2 (15 баллов).

3. Площадь полной поверхности (S_полн)

• Полная поверхность пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности.
• Площадь боковой поверхности (S_бок) равна сумме площадей всех боковых граней. У нас 6 одинаковых граней:
• S_{\text{бок}} = 6 \times S_{\text{бок. грани}} = 6 \times 108 \text{ см}^2 = 648 \text{ см}^2
• Площадь полной поверхности:
• S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 216 \sqrt{3} \text{ см}^2 + 648 \text{ см}^2
• Можно вынести общий множитель 216:
• S_{\text{полн}} = 216 (\sqrt{3} + 3) \text{ см}^2

Ответ:

• в) Площадь полной поверхности пирамиды равна (216 \sqrt{3} + 648) \text{ см}^2 или 216 (\sqrt{3} + 3) \text{ см}^2 (10 баллов).