Задание 2 (30 баллов). В правильной четырёхугольной пирамиде периметр основания равен 8 см, а её объём равен 8 см³.

Задание 2: Правильная четырёхугольная пирамида

Дано:

• Пирамида правильная четырёхугольная.
• Периметр основания (P_осн) = 8 см.
• Объём пирамиды (V) = 8 см³.

Найти:

• а) Высоту пирамиды (h)
• б) Длину бокового ребра (l)

1. Находим сторону основания (a)

• Основание - квадрат, так как пирамида правильная четырёхугольная.
• Периметр квадрата: P_{\text{осн}} = 4a
• 8 \text{ см} = 4a
• a = \frac{8 \text{ см}}{4} = 2 \text{ см}

2. Находим площадь основания (S_осн)

• Площадь квадрата: S_{\text{осн}} = a^2
• S_{\text{осн}} = (2 \text{ см})^2 = 4 \text{ см}^2

3. Находим высоту пирамиды (h)

• Объём пирамиды вычисляется по формуле: V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \times h
• У нас есть V и S_осн, найдём h:
• 8 \text{ см}^3 = \frac{1}{3} \times 4 \text{ см}^2 \times h
• 8 \text{ см}^3 = \frac{4}{3} \text{ см}^2 \times h
• h = \frac{8 \text{ см}^3 \times 3}{4 \text{ см}^2} = \frac{24}{4} \text{ см} = 6 \text{ см}

Ответ:

• а) Высота пирамиды равна 6 \text{ см} (15 баллов).

4. Находим длину бокового ребра (l)

• В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро (l), высота (h) и радиус описанной окружности основания (R_осн) образуют прямоугольный треугольник.
• Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали.
• Диагональ квадрата (d): d = a \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \text{ см}
• Радиус описанной окружности основания: R_{\text{осн}} = \frac{d}{2} = \frac{2 \sqrt{2} \text{ см}}{2} = \sqrt{2} \text{ см}
• По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника (h, R_осн, l):
• l^2 = h^2 + R_{\text{осн}}^2
• l^2 = (6 \text{ см})^2 + (\sqrt{2} \text{ см})^2
• l^2 = 36 \text{ см}^2 + 2 \text{ см}^2 = 38 \text{ см}^2
• l = \sqrt{38} \text{ см}

Ответ:

• б) Длина бокового ребра пирамиды равна \sqrt{38} \text{ см} (15 баллов).