Задание 1: Известно, что СК=DK и ∠CKP = ∠DKP (рисунок). Докажите, что ∠MCP=∠MDP.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle CKP \) и \( \triangle DKP \).

1. \( CK = DK \) — по условию.
2. \( \angle CKP = \angle DKP \) — по условию.
3. \( KP = KP \) — общая сторона.
4. По двум сторонам и углу между ними, \( \triangle CKP = \triangle DKP \) (по второму признаку равенства треугольников).
5. Следовательно, \( CP = DP \) и \( \angle KCP = \angle KDP \).

Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle MCP \) и \( \triangle MDP \).

1. \( CP = DP \) — доказано выше.
2. \( \angle MCP = \angle MDP \) — это развёрнутые углы, которые можно получить, сложив или вычтя равные углы из равных углов.
3. \( MP = MP \) — общая сторона.
4. По трём сторонам \( \triangle MCP = \triangle MDP \) (по третьему признаку равенства треугольников).
5. Следовательно, \( \angle MCP = \angle MDP \).

Что и требовалось доказать.